Каково значение выражение Aₙ³, если четвертое слагаемое разложения (корень 3 степени из x + 1/x)^n не зависит

Вода

51

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть выражение \(A_n^3\), где слагаемое \(A_n\) является \(n\)-ым разложением выражения \((\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x})^n\). Важно отметить, что четвертое слагаемое этого разложения не зависит от переменной \(x\). Нам нужно найти значение переменной \(n\).

Для начала, давайте проанализируем разложение выражения \((\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x})^n\). Разложение этого выражения основано на биномиальной теореме и имеет вид:

\[(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x})^n = C_0(n)(\sqrt[3]{x})^n\bigg(\frac{1}{x}\bigg)^0 + C_1(n)(\sqrt[3]{x})^{n-1}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)^1 + \ldots + C_n(n)(\sqrt[3]{x})^0\bigg(\frac{1}{x}\bigg)^n\]

Здесь \(C_k(n)\) обозначает биномиальный коэффициент \({n \choose k}\), а \({n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) - количество различных комбинаций выбора \(k\) слагаемых из \(n\) слагаемых.

Далее, нам дано, что четвертое слагаемое разложения не зависит от переменной \(x\). Что это значит? Это означает, что коэффициент перед \((\sqrt[3]{x})^{n-3}\big(\frac{1}{x}\big)^3\) равен коэффициенту перед \((\sqrt[3]{x})^0\big(\frac{1}{x}\big)^n\). Следовательно, мы можем записать:

\[C_4(n) = C_0(n)\]

Чтобы определить значение переменной \(n\), рассмотрим формулу для биномиальных коэффициентов:

\({n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Вернемся к равенству \(C_4(n) = C_0(n)\). Подставим значения коэффициентов:

\(\frac{n!}{4!(n-4)!} = \frac{n!}{0!(n-0)!}\)

Упростим это выражение, вычисляя факториалы:

\(\frac{n!}{24(n-4)!} = \frac{n!}{1(n-0)!}\)

Теперь, чтобы получить \(n\), мы можем сократить выражения, умножив обе части на общий знаменатель:

\(n! = 24(n-4)!\)

Теперь давайте посмотрим на левую сторону равенства. Заметим, что если \(n-4\) принимает значения от 0 до 3, то левая сторона факториала равна нулю. Однако, если \(n-4\) принимает значения больше 3, левая сторона факториала будет иметь ненулевое значение. Следовательно, чтобы равенство \(n! = 24(n-4)!\) выполнялось, \(n\) должно быть больше 3.

Итак, мы пришли к выводу, что значение переменной \(n\) должно быть больше 3.