Каково значение выражения 5cos x * sin 2x + 5cos 2x * sin x, если 5cos(pi/2 + 3x)?

Raduga_Na_Zemle

39

Хорошо, рассмотрим данное выражение поэтапно. У нас имеется следующее выражение: 5cos x * sin 2x + 5cos 2x * sin x.

Для начала посмотрим на значение cos(pi/2 + 3x). Данное значение означает, что угол, передаваемый в cos(x), равен pi/2 + 3x. Разложим данное выражение, используя формулу суммы углов для cos:

cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B).

В данном случае, A = pi/2 и B = 3x.

Тогда значение cos(pi/2 + 3x) равно:

cos(pi/2 + 3x) = cos(pi/2) * cos(3x) - sin(pi/2) * sin(3x).

Заметим, что cos(pi/2) равно 0, а sin(pi/2) равно 1, поэтому получим следующее выражение:

cos(pi/2 + 3x) = 0 * cos(3x) - 1 * sin(3x) = -sin(3x).

Теперь вернемся к нашему изначальному выражению и подставим это значение:

5cos x * sin 2x + 5cos 2x * sin x = 5 * cos(x) * sin(2x) + 5 * cos(2x) * sin(x).

Теперь вместо cos(2x) * sin(x) и cos(x) * sin(2x) подставим изначальное значение -sin(3x):

5cos x * sin 2x + 5cos 2x * sin x = 5 * cos(x) * sin(2x) + 5 * (-sin(3x)) * sin(x).

Теперь мы можем разбить выражение на две части:

Часть 1: 5 * cos(x) * sin(2x).

Часть 2: 5 * (-sin(3x)) * sin(x).

Проанализируем каждую из них.

Часть 1: 5 * cos(x) * sin(2x).

Начнем с разложения sin(2x):

sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x).

Тогда:

5 * cos(x) * sin(2x) = 5 * cos(x) * (2 * sin(x) * cos(x)) = 10 * cos(x) * sin(x) * cos(x).

Часть 2: 5 * (-sin(3x)) * sin(x).

Тут мы помним, что значение cos(pi/2 + 3x) равно -sin(3x). Тогда:

5 * (-sin(3x)) * sin(x) = -5 * cos(pi/2 + 3x) * sin(x).

Мы уже выразили cos(pi/2 + 3x) через -sin(3x), поэтому подставим это значение:

-5 * cos(pi/2 + 3x) * sin(x) = -5 * (-sin(3x)) * sin(x) = 5 * sin(3x) * sin(x).

Теперь у нас есть две части выражения:

Часть 1: 10 * cos(x) * sin(x) * cos(x).

Часть 2: 5 * sin(3x) * sin(x).

Сложим две части выражения:

10 * cos(x) * sin(x) * cos(x) + 5 * sin(3x) * sin(x).

Объединим члены, которые имеют общие множители:

10 * cos(x) * sin(x) * cos(x) + 5 * sin(3x) * sin(x) = 10 * cos(x) * sin(x) * cos(x) + 5 * sin(x) * sin(3x) = sin(x) * (10 * cos(x) * cos(x) + 5 * sin(3x)).

Следовательно, значение выражения 5cos x * sin 2x + 5cos 2x * sin x, если 5cos(pi/2 + 3x), равно:

sin(x) * (10 * cos(x) * cos(x) + 5 * sin(3x)).