Каково значение выражения arcctg(ctgπ3)+arctg(tgπ4)+π6?

Зарина

50

Давайте посмотрим на каждую часть данного выражения по очереди.

1. Для начала, давайте вычислим значение функции \(ctg(\frac{\pi}{3})\). Значение тангенса функции \(\frac{\pi}{3}\) известно и равно \(\sqrt{3}\). Таким образом, чтобы найти значение котангенса, нужно взять обратное значение тангенса: \(ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

2. Затем, давайте рассмотрим функцию \(arctg(\frac{\pi}{4})\). Здесь значение тангенса функции \(\frac{\pi}{4}\) также известно и равно 1. Таким образом, значение обратной функции арктангенса будет равно \( arctg(\frac{\pi}{4}) = 1\).

3. Теперь, посмотрим на последнюю часть выражения \(\frac{\pi}{6}\). Здесь не требуется вычислять что-либо, так как это уже заданное значение.

Теперь, когда мы знаем значения каждой из частей выражения, давайте сложим их все вместе:

\(arcctg(ctg(\frac{\pi}{3})) + arctg(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{6} = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 1 + \frac{\pi}{6}\).

Теперь мы можем перейти к вычислению арккотангенса. Арккотангенс является обратной функцией к котангенсу. Чтобы найти значение этой функции, мы можем использовать следующее равенство: \(arcctg(x) = \frac{\pi}{2} - arctg(x)\).

Применяя это равенство к нашему выражению, получим:

\(arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{2} - arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})\).

Теперь мы можем заменить значение арктангенса в выражении:

\(arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{2} - arctg(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{6}\).

Теперь давайте заменим значения известных функций:

\(arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{2} - 1 + \frac{\pi}{6}\).

После сложения всех значений мы получим окончательный ответ:

\(arcctg(ctg(\frac{\pi}{3})) + arctg(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - 1 + \frac{\pi}{6}\).

Это окончательное численное значение. Если вам нужно точное значение, оно будет равно:

\(arcctg(ctg(\frac{\pi}{3})) + arctg(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{6} \approx 0.7799 + 1 + 0.5236 \approx 2.3035\).

Надеюсь, что этот подробный ответ помог вам понять, как получить значение данного выражения.