Каково значение выражения: cos2t+2sin2t−1 . 1 cos2t 2sin2t tg2t sin2t?

Svetlyachok

69

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово.

Данное выражение: \(\cos^2t + 2\sin^2t - \frac{1}{\cos^2t} + 2\sin^2t\tg^2t - \sin^2t\).

1. Начнем с разложения угла в тангенсе:
\[\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}.\]
Квадрат тангенса можно представить как:
\[\tg^2t = \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = \frac{\sin^2t}{\cos^2t}.\]

2. Подставим полученное значение в исходное выражение:
\[\cos^2t + 2\sin^2t - \frac{1}{\cos^2t} + 2\sin^2t\left(\frac{\sin^2t}{\cos^2t}\right) - \sin^2t.\]

3. Приведем подобные слагаемые:
\[
\cos^2t - \frac{1}{\cos^2t} + 3\sin^2t\left(\frac{\sin^2t}{\cos^2t}\right).
\]

4. Рассмотрим первое слагаемое: \(\cos^2t-\frac{1}{\cos^2t}\).

Мы можем записать \(\cos^2t\) в виде \(\frac{1}{\sec^2t}\), где \(\sec t = \frac{1}{\cos t}\). Таким образом, первое слагаемое можно переписать:
\[\frac{1}{\sec^2t} - \frac{1}{\cos^2t}.\]

Теперь найдем общий знаменатель и вычислим это выражение:
\[\frac{1}{\sec^2t} - \frac{1}{\cos^2t} = \frac{1-\sec^2t}{\sec^2t} = \frac{1-\frac{1}{\cos^2t}}{\frac{1}{\cos^2t}} = \frac{\cos^2t-1}{\cos^2t} = -1.\]

5. Вернемся к исходному выражению:
\[-1 + 3\sin^2t\left(\frac{\sin^2t}{\cos^2t}\right).\]

6. Завершим расчет: \(\frac{\sin^2t}{\cos^2t} = (\sin t)^2 \cdot (\cos t)^{-2} = \frac{\sin^2t}{(\cos t)^2} = \frac{\sin^2t}{1-\sin^2t}\).

Подставим это значение обратно:
\[-1 + 3\sin^2t\cdot\frac{\sin^2t}{1-\sin^2t} = -1 + \frac{3\sin^4t}{1-\sin^2t}.\]

Итак, окончательный ответ: \(-1 + \frac{3\sin^4t}{1-\sin^2t}\).