В каких значениях x функция cos(x/2-4pi) равна ctg(5pi/2+x)=корень5/2, если x принадлежит (3pi/2

Lazernyy_Robot

14

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти значения \( x \), при которых функция \( \cos\left(\frac{x}{2} - 4\pi\right) \) равна \( \cot\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \frac{\sqrt{5}}{2} \), когда \( x \) находится в интервале \( \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right) \).

Давайте начнем с упрощения уравнения \( \cos\left(\frac{x}{2} - 4\pi\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) \). Используя тригонометрические тождества, мы можем заменить \( \cot(x) \) на \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \):

\[ \cos\left(\frac{x}{2} - 4\pi\right) = \frac{\cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}{\sin\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)} \]

Теперь нам нужно избавиться от знаменателя в правой части уравнения. Мы можем использовать тригонометрическое тождество \( \sin(\theta + \pi/2) = \cos(\theta) \):

\[ \cos\left(\frac{x}{2} - 4\pi\right) = \frac{\cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{2} + x + \frac{\pi}{2}\right)} \]

Затем избавимся от знаменателя, используя тригонометрическое тождество \( \cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta) \):

\[ \cos\left(\frac{x}{2} - 4\pi\right) = \frac{\cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}{-\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)} \]

Теперь мы имеем уравнение:

\[ \cos\left(\frac{x}{2} - 4\pi\right)\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = 0 \]

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать знания о периодичности и свойствах тригонометрических функций, а также применить тригонометрические тождества и формулы суммы и разности.

Получившийся результат мы можем записать в краткой форме:

\[ \cos\left(\frac{x}{2} - 4\pi\right)\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = 0 \]

Теперь, с помощью численных методов или графика, мы можем найти значения \( x \), которые удовлетворяют этому уравнению в заданном интервале \( \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right) \).