Каково значение x для точки касания графика функции у=х^3+6х^2+3х-18 с прямой у=3х+14?

Schuka

47

Чтобы найти значение x для точки касания графика функции \(y=x^3+6x^2+3x-18\) с прямой \(y=3x+14\), мы должны найти такое значение x, при котором уравнение для функции и уравнение для прямой имеют одинаковое значение y.

Давайте начнем сравнивать уравнения функции и прямой:

\(y=x^3+6x^2+3x-18\) (1)

\(y=3x+14\) (2)

Так как мы ищем точку касания, значение y должно быть одинаковым для обоих уравнений. Давайте приравняем (1) и (2) и решим полученное уравнение для х.

\[x^3+6x^2+3x-18=3x+14\]

Далее, переместим все члены уравнения налево:

\[x^3+6x^2+3x-3x-18-14=0\]

\[x^3+6x^2-18=0\]

Теперь у нас есть кубическое уравнение для x. К счастью, в данном случае, данное уравнение разрешимо факторизацией с использованием разложения на множители. Давайте попробуем:

\[x^3+6x^2-18=(x-2)(x+3)(x+3)=0\]

Таким образом, мы получаем 3 значения x, для которых уравнение равно нулю: \(x=2\), \(x=-3\), \(x=-3\).

Теперь, давайте проверим, при каких значениях x у функции и прямой значение y будет одинаковым.

Для \(x=2\):

Для функции: \(y=2^3+6\cdot2^2+3\cdot2-18=8+24+6-18=20\)

Для прямой: \(y=3\cdot2+14=6+14=20\)

Для \(x=-3\):

Для функции: \(y=(-3)^3+6\cdot(-3)^2+3\cdot(-3)-18=-27+54-9-18=0\)

Для прямой: \(y=3\cdot(-3)+14=-9+14=5\)

Для \(x=-3\) функция и прямая не имеют одинаковые значения y, поэтому это не является точкой касания.

Таким образом, значение x для точки касания графика функции \(y=x^3+6x^2+3x-18\) с прямой \(y=3x+14\) равно \(x=2\). В этой точке значения y для функции и прямой равны 20.