Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 110 м, а площадь

Загадочный_Лес

54

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей. Мы знаем, что периметр прямоугольника равен 110 м. Пусть длина одной из его сторон будет \(x\), а длина другой - \(y\).

Периметр прямоугольника выражается формулой:
\[P = 2(x + y)\]

Заменяя значения, получаем:
\[110 = 2(x + y)\]

Давайте перенесем коэффициенты и выразим одну из переменных через другую:
\[x + y = \frac{110}{2}\]
\[x + y = 55\]

Теперь рассмотрим площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника выражается формулой:
\[S = x \cdot y\]

Мы знаем, что площадь прямоугольника должна быть числовым значением. Так как в задаче нет указаний о дробных значениях или целочисленности сторон, предположим, что длина сторон также является целыми числами.

Теперь у нас есть два уравнения:
\[x + y = 55\]
\[S = x \cdot y\]

Мы должны найти длины сторон прямоугольника, то есть значения \(x\) и \(y\), с помощью этих уравнений.

Давайте дальше решим эту систему уравнений. Так как есть два неизвестных, нам понадобится еще одно уравнение, чтобы найти значения \(x\) и \(y\).

Допустим, мы знаем, что площадь прямоугольника равна 400 квадратных метров, тогда у нас будет:
\[S = x \cdot y = 400\]

Теперь у нас есть система уравнений:
\[\begin{cases} x + y = 55 \\ x \cdot y = 400 \end{cases}\]

Для решения этой системы уравнений мы можем использовать метод подстановки или метод исключения.

Я воспользуюсь методом подстановки для решения этой системы уравнений.

Из первого уравнения мы можем выразить одну переменную через другую:
\[x = 55 - y\]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[(55 - y) \cdot y = 400\]

Раскроем скобки:
\[55y - y^2 = 400\]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[y^2 - 55y + 400 = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение.

Произведение коэффициента при \(y^2\) и свободного члена равно \(1 \cdot 400 = 400\).

Нам необходимо найти два числа, которые при перемножении дают 400, а при сложении дают -55.

Эти числа - (-40) и (-15).

Теперь мы можем разложить уравнение на множители:
\[(y - 40)(y - 15) = 0\]

Из этого равенства мы получаем два возможных значения \(y\):
\[y_1 = 40\]
\[y_2 = 15\]

Теперь подставим значения \(y\) в первое уравнение \(x + y = 55\) и найдем соответствующие значения \(x\):
\[x_1 + 40 = 55 \Rightarrow x_1 = 15\]
\[x_2 + 15 = 55 \Rightarrow x_2 = 40\]

Таким образом, у нас есть две пары значений сторон прямоугольника, равных:
\[x_1 = 15\, м, y_1 = 40\, м\]
\[x_2 = 40\, м, y_2 = 15\, м\]

Таким образом, если периметр прямоугольника равен 110 м, а площадь равна 400 квадратных метров, то длины его сторон могут быть равными 15 м и 40 м или 40 м и 15 м.