Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр составляет 114 метров, а площадь - 740 квадратных метров?

Veselyy_Zver_3646

14

Для начала решим задачу, определяя длину сторон прямоугольника по его периметру.

Периметр \(P\) прямоугольника можно найти, сложив длины всех его сторон. Для данной задачи у нас есть информация о периметре - 114 метров.

Пусть длины сторон прямоугольника равны \(x\) и \(y\). Тогда периметр можно выразить следующим образом:

\[P = 2x + 2y\]

Теперь мы знаем, что периметр равен 114 метров, поэтому мы можем записать уравнение:

\[114 = 2x + 2y\]

Далее, решим задачу, определяя длину сторон прямоугольника по его площади.

Площадь \(S\) прямоугольника можно найти, умножив длину одной стороны на длину другой стороны. Для данной задачи у нас есть информация о площади - 740 квадратных метров.

Поэтому мы можем записать уравнение:

\[S = xy\]

Где \(x\) и \(y\) - длины сторон прямоугольника.

Итак, у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 114 = 2x + 2y \\ 740 = xy \end{cases}\]

Чтобы решить эту систему уравнений, можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

Один из способов решить эту систему - методом подстановки. Решим первое уравнение относительно одной из переменных, например, относительно \(x\):

\[2x = 114 - 2y\]
\[x = \frac{{114 - 2y}}{2}\]

Теперь, подставим это выражение во второе уравнение:

\[740 = \frac{{114 - 2y}}{2} \cdot y\]

Упростим выражение:

\[1480 = 114y - 2y^2\]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[2y^2 - 114y + 1480 = 0\]

Теперь, решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 2\), \(b = -114\) и \(c = 1480\).

\[D = (-114)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1480 = 12996 - 11840 = 1156\]

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два вещественных корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a}\]

Подставим значения:

\[y = \frac{{-(-114) \pm \sqrt{1156}}}{2 \cdot 2}\]

Упростим выражение:

\[y = \frac{{114 \pm 34}}{4}\]

Два возможных значения:
1) \(y = \frac{{114 + 34}}{4} = \frac{{148}}{4} = 37\)
2) \(y = \frac{{114 - 34}}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)

Теперь, найдем значения длин \(x\) по нашим найденным значениям \(y\):

1) При \(y = 37\):
\[x = \frac{{114 - 2 \cdot 37}}{2} = \frac{{114 - 74}}{2} = \frac{{40}}{2} = 20\]

2) При \(y = 20\):
\[x = \frac{{114 - 2 \cdot 20}}{2} = \frac{{114 - 40}}{2} = \frac{{74}}{2} = 37\]

Итак, у нас есть два возможных набора длин сторон прямоугольника.

1) При \(x = 20\) и \(y = 37\)
2) При \(x = 37\) и \(y = 20\)

Таким образом, длины сторон прямоугольника могут быть равны 20 метров и 37 метров, а также 37 метров и 20 метров.