Каковы должны быть диаметр и длина волоска лампочки мощностью 40 Вт для напряжения 220 В, если у лампочки мощностью

Кристальная_Лисица

32

Для решения данной задачи мы можем использовать закон Ома для электрической цепи и закон Стефана-Больцмана для излучения тепла.

Сначала мы можем использовать закон Ома, который гласит:

\[ P = \frac{{U^2}}{{R}} \]

где P - мощность, U - напряжение в цепи, R - сопротивление.

Для лампочки мощностью 60 Вт и напряжением 120 В, мы можем рассчитать сопротивление по следующей формуле:

\[ R_1 = \frac{{U_1^2}}{{P_1}} \]

где R_1 - сопротивление лампочки мощностью 60 Вт для напряжения 120 В, U_1 - напряжение в цепи (120 В), P_1 - мощность лампочки (60 Вт).

Таким образом, мы можем рассчитать R_1 следующим образом:

\[ R_1 = \frac{{120^2}}{{60}} = 240 \, Ом \]

Далее мы можем использовать закон Стефана-Больцмана, который гласит:

\[ P = \sigma \cdot A \cdot T^4 \]

где P - мощность излучения, \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана, A - площадь излучающей поверхности, T - температура накала.

Мы предполагаем, что температура накала в обоих случаях одинаковая, поэтому мы можем записать следующее:

\[ \frac{{P_1}}{{A_1}} = \frac{{P_2}}{{A_2}} \]

где P_1 - мощность лампочки мощностью 60 Вт для напряжения 120 В, A_1 - площадь излучающей поверхности лампочки мощностью 60 Вт для напряжения 120 В, P_2 - максимальная мощность (40 Вт), A_2 - площадь излучающей поверхности.

Теперь мы можем рассчитать A_1 и A_2 по следующим формулам:

\[ A_1 = \pi \cdot r_1^2 \]

\[ A_2 = \pi \cdot r_2^2 \]

где r_1 - радиус волоска лампочки мощностью 60 Вт для напряжения 120 В, r_2 - радиус волоска для лампочки мощностью 40 Вт для напряжения 220 В.

Мы также можем использовать следующее соотношение:

\[ r_1 = 0,5 \cdot d_1 \]

\[ r_2 = 0,5 \cdot d_2 \]

где d_1 - диаметр волоска лампочки мощностью 60 Вт для напряжения 120 В, d_2 - диаметр волоска для лампочки мощностью 40 Вт для напряжения 220 В.

Теперь у нас есть все необходимые формулы для решения задачи:

\[ \frac{{P_1}}{{\pi \cdot (0,5 \cdot d_1)^2}} = \frac{{P_2}}{{\pi \cdot (0,5 \cdot d_2)^2}} \]

\[ \frac{{60}}{{0,25 \cdot d_1^2}} = \frac{{40}}{{0,25 \cdot d_2^2}} \]

Делим обе стороны уравнения на 0,25 и переставляем слагаемые:

\[ \frac{{60}}{{0,25}} \cdot d_2^2 = \frac{{40}}{{0,25}} \cdot d_1^2 \]

\[ 240 \cdot d_2^2 = 160 \cdot d_1^2 \]

Далее, подставляем значения длины волоска и находим диаметр:

\[ 240 \cdot d_2^2 = 160 \cdot (0,04 \, \text{мм})^2 \]

\[ d_2^2 = \frac{{160 \cdot (0,04 \, \text{мм})^2}}{{240}} \]

\[ d_2^2 = 0,01067 \, \text{мм}^2 \]

\[ d_2 \approx \sqrt{0,01067} \, \text{мм} \approx 0,103 \, \text{мм} \]

Теперь мы можем использовать соотношение между радиусом и диаметром:

\[ r_2 = 0,5 \cdot d_2 = 0,5 \cdot 0,103 \, \text{мм} \approx 0,052 \, \text{мм} \]

Таким образом, диаметр волоска лампочки мощностью 40 Вт для напряжения 220 В должен быть примерно 0,103 мм, а его радиус составляет примерно 0,052 мм.