Каковы должны быть величина и знак заряда, помещенного в центр треугольника, чтобы система зарядов находилась

Татьяна

57

Чтобы система зарядов находилась в равновесии, сумма всех горизонтальных и вертикальных компонентов сил, действующих на центр треугольника, должна быть равна нулю.

Давайте представим, что треугольник находится на плоскости, а заряды располагаются на вершинах треугольника. Пусть \(q_1\) и \(q_2\) - это заряды на двух вершинах треугольника, и \(q_3\) - это заряд на третьей вершине. Расстояние между вершинами треугольника обозначим через \(l\).

Сила, действующая на заряд \(q_3\) со стороны \(q_1\), определяется законом Кулона:

\[F_{31} = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_3|}}{{l^2}}\]

Аналогично, сила, действующая на заряд \(q_3\) со стороны \(q_2\), равна:

\[F_{32} = \frac{{k \cdot |q_2 \cdot q_3|}}{{l^2}}\]

Горизонтальная и вертикальная компоненты силы между \(q_1\) и \(q_3\) будут тогда равны:

\[F_{31x} = F_{31} \cdot \cos(\theta_1)\]
\[F_{31y} = F_{31} \cdot \sin(\theta_1)\]

Горизонтальная и вертикальная компоненты силы между \(q_2\) и \(q_3\) будут равны:

\[F_{32x} = F_{32} \cdot \cos(\theta_2)\]
\[F_{32y} = F_{32} \cdot \sin(\theta_2)\]

Где \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - углы между направлениями сил и горизонтальной осью.

Теперь мы можем записать условие равновесия:

\[\sum F_{x} = F_{31x} + F_{32x} = 0\]
\[\sum F_{y} = F_{31y} + F_{32y} = 0\]

Подставляя соответствующие выражения, получим:

\[F_{31} \cdot \cos(\theta_1) + F_{32} \cdot \cos(\theta_2) = 0\]
\[F_{31} \cdot \sin(\theta_1) + F_{32} \cdot \sin(\theta_2) = 0\]

Теперь приведем уравнения к виду, зависящему только от зарядов. Разделим оба уравнения на \(k \cdot \frac{1}{{l^2}}\):

\[\frac{{q_1 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \cos(\theta_1) + \frac{{q_2 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \cos(\theta_2) = 0\]
\[\frac{{q_1 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \sin(\theta_1) + \frac{{q_2 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \sin(\theta_2) = 0\]

Теперь заметим, что \(\cos(\theta_1)\) можно представить как \(-\cos(\pi - \theta_1)\), а \(\sin(\theta_1)\) как \(\sin(\pi - \theta_1)\), и аналогично для \(\cos(\theta_2)\) и \(\sin(\theta_2)\). Подставим это в уравнения:

\[\frac{{q_1 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot (-\cos(\pi - \theta_1)) + \frac{{q_2 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot (-\cos(\pi - \theta_2)) = 0\]
\[\frac{{q_1 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \sin(\pi - \theta_1) + \frac{{q_2 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \sin(\pi - \theta_2) = 0\]

Далее, с использованием тригонометрических тождеств, получаем:

\[\frac{{q_1 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \cos(\theta_1) + \frac{{q_2 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \cos(\theta_2) = 0\]
\[-\frac{{q_1 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \cos(\theta_1) + \frac{{q_2 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \cos(\theta_2) = 0\]

Таким образом, мы получили, что:

\[\frac{{q_1 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \cos(\theta_1) + \frac{{q_2 \cdot q_3}}{{l^2}} \cdot \cos(\theta_2) = 0\]

Это уравнение говорит нам, что знаки зарядов \(q_1\), \(q_2\) и \(q_3\) должны удовлетворять условию:

\[q_1 \cdot q_3 + q_2 \cdot q_3 = 0\]

То есть, произведение зарядов на вершинах треугольника должно быть отрицательным. Это означает, что для равновесия системы зарядов, заряды на вершинах треугольника должны иметь разные знаки.

Теперь рассмотрим устойчивость равновесия системы зарядов. Чтобы это выяснить, нужно проанализировать, как изменяется положение системы зарядов при небольших возмущениях. Если система возвращается к равновесному положению, то равновесие называется устойчивым, а если система отклоняется от равновесия, то равновесие называется неустойчивым.

Для треугольника с зарядами массы равновесие будет устойчивым, так как треугольник будет возвращаться в исходное состояние, если небольшие возмущения будут заставлять его отклоняться от равновесия. Если заряды на вершинах треугольника будут иметь одинаковые знаки, то система зарядов будет слабо устойчива к небольшим возмущениям, и треугольник будет оставаться в равновесии только до определенного предела. При дальнейшем увеличении возмущений система начнет двигаться все более и более удаленно от равновесия.

Таким образом, чтобы система зарядов была в равновесии, заряды на вершинах треугольника должны иметь разные знаки, а равновесие будет устойчивым.