Каковы координаты точки минимума функции y=7^x^2+30x+237?

Maksim

63

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем производную функции.
Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого, \(7^{x^2}\), будет равна:
\[\frac{{d}}{{dx}}(7^{x^2}) = 7^{x^2} \cdot \ln(7) \cdot 2x\]

Производная второго слагаемого, \(30x\), будет равна:
\[\frac{{d}}{{dx}}(30x) = 30\]

Производная третьего слагаемого, \(237\), будет равна нулю, так как это константа.

Шаг 2: Сложим все производные, чтобы найти общую производную функции.
Общая производная будет выглядеть так:
\[f"(x) = 7^{x^2} \cdot \ln(7) \cdot 2x + 30\]

Шаг 3: Найдем точку минимума, приравняв общую производную к нулю и решив полученное уравнение относительно \(x\).
\[7^{x^2} \cdot \ln(7) \cdot 2x + 30 = 0\]

Выразим \(x\) через остальные слагаемые:
\[7^{x^2} \cdot \ln(7) \cdot 2x = -30\]
\[x = \frac{{-30}}{{7^{x^2} \cdot \ln(7) \cdot 2}}\]

Шаг 4: Подставим полученное значение \(x\) обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \(y\).
\[y = 7^{(\frac{{-30}}{{7^{x^2} \cdot \ln(7) \cdot 2}})^2} + 30 \cdot \frac{{-30}}{{7^{x^2} \cdot \ln(7) \cdot 2}} + 237\]

Данные расчеты немного сложны для выполнения вручную. Однако, с помощью калькулятора или программного кода, вы можете найти значение \(x\) и, затем, вычислить значение \(y\).

В заключение, найденные координаты точки минимума функции \(y = 7^{x^2} + 30x + 237\) зависят от значения \(x\), которое мы должны рассчитать.