Каковы координаты точки минимума функции y=7^x^2+30x+237?

Maksim

63

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем производную функции.
Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого, $7^{x^2}$, будет равна:
$$\frac{d}{dx}(7^{x^2})=7^{x^2}\cdot \ln (7)\cdot 2x$$

Производная второго слагаемого, $30x$, будет равна:
$$\frac{d}{dx}(30x)=30$$

Производная третьего слагаемого, $237$, будет равна нулю, так как это константа.

Шаг 2: Сложим все производные, чтобы найти общую производную функции.
Общая производная будет выглядеть так:
$$f"(x)=7^{x^2}\cdot \ln (7)\cdot 2x+30$$

Шаг 3: Найдем точку минимума, приравняв общую производную к нулю и решив полученное уравнение относительно $x$.
$$7^{x^2}\cdot \ln (7)\cdot 2x+30=0$$

Выразим $x$ через остальные слагаемые:
$$7^{x^2}\cdot \ln (7)\cdot 2x=-30$$
$$x=\frac{-30}{7^{x^2}\cdot \ln (7)\cdot 2}$$

Шаг 4: Подставим полученное значение $x$ обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение $y$.
$$y=7^{(\frac{-30}{7^{x^2}\cdot \ln (7)\cdot 2}{)}^2}+30\cdot \frac{-30}{7^{x^2}\cdot \ln (7)\cdot 2}+237$$

Данные расчеты немного сложны для выполнения вручную. Однако, с помощью калькулятора или программного кода, вы можете найти значение $x$ и, затем, вычислить значение $y$.

В заключение, найденные координаты точки минимума функции $y=7^{x^2}+30x+237$ зависят от значения $x$, которое мы должны рассчитать.