Каковы максимальное и минимальное значения функции f(x) = 12cos^2(22x) + 10sin^2(22x)?

Кристальная_Лисица

20

Решение:

Для определения максимального и минимального значения функции \(f(x) = 12\cos^2(22x) + 10\sin^2(22x)\), мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами. Давайте сделаем это пошагово:

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу для косинуса.
\(\cos^2(\theta) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2\theta))\)

Применим эту формулу для первого слагаемого:
\(12\cos^2(22x) = 12\left(\frac{1}{2}(1 + \cos(2 \cdot 22x)))\right)\)

Упростим выражение:
\(12\left(\frac{1}{2}(1 + \cos(44x))\right) = 6(1 + \cos(44x))\)

Шаг 2: Применим тригонометрическую формулу для синуса.
\(\sin^2(\theta) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2\theta))\)

Применим эту формулу ко второму слагаемому:
\(10\sin^2(22x) = 10\left(\frac{1}{2}(1 - \cos(2 \cdot 22x)))\right)\)

Упростим выражение:
\(10\left(\frac{1}{2}(1 - \cos(44x))\right) = 5(1 - \cos(44x))\)

Шаг 3: Теперь, заменим \(12\cos^2(22x)\) и \(10\sin^2(22x)\) в исходной функции \(f(x)\) на соответствующие упрощенные выражения:
\(f(x) = 6(1 + \cos(44x)) + 5(1 - \cos(44x))\)

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
\(f(x) = 6 + 6\cos(44x) + 5 - 5\cos(44x)\)

Упростим выражение:
\(f(x) = 11 + \cos(44x)\)

Шаг 4: Определим максимальное и минимальное значения функции \(f(x)\).

Максимальное значение функции \(f(x)\) достигается, когда \(\cos(44x)\) равно 1. Так как \(\cos(\theta)\) может принимать значения от -1 до 1, то максимальное значение функции \(f(x)\) равно:

\[f_{\text{max}}(x) = 11 + 1 = 12\]

Аналогично, минимальное значение функции \(f(x)\) достигается, когда \(\cos(44x)\) равно -1. Так как \(\cos(\theta)\) может принимать значения от -1 до 1, то минимальное значение функции \(f(x)\) равно:

\[f_{\text{min}}(x) = 11 + (-1) = 10\]

Итак, максимальное значение функции \(f(x)\) равно 12, а минимальное значение равно 10.