Каковы наибольшее и наименьшее значение функции [tex]y = ln(2x - 1) + 2ln(8 - x)[/tex] на данном отрезке?

Darya

42

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, мы должны сначала найти критические точки функции, а затем проверить значения на концах отрезка.

1. Найдем критические точки, то есть значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для этого возьмем производную y по x:

\[y" = \frac{{2}}{{2x - 1}} + \frac{{2}}{{8 - x}}\]

Мы должны приравнять производную к нулю и решить получившееся уравнение:

\[\frac{{2}}{{2x - 1}} + \frac{{2}}{{8 - x}} = 0\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[\frac{{2}}{{2x - 1}} = -\frac{{2}}{{8 - x}}\]

Инвертируем обе части уравнения:

\[\frac{{2x - 1}}{{2}} = -\frac{{8 - x}}{{2}}\]

Раскроем скобки:

\[2x - 1 = -8 + x\]

Теперь перенесем все x-ы на одну сторону и числа на другую:

\[2x - x = -8 + 1\]

\[x = -7\]

2. Проверим значение функции на найденной критической точке и на концах заданного отрезка.

Подставим x=-7 в исходную функцию:

\[y = \ln(2(-7) - 1) + 2\ln(8 - (-7))\]

Вычислим значения:

\[y = \ln(-15) + 2\ln(15)\]

Мы не можем взять натуральный логарифм от отрицательного числа, поэтому наша функция не определена на критической точке x=-7.

Теперь проверим значения на концах отрезка. Заданный отрезок не указан в вопросе, поэтому мы не можем продолжить решение. Пожалуйста, уточните, что представляет собой данный отрезок.

Общая идея состоит в том, чтобы найти критические точки функции (где производная равна нулю или не существует) и проверить значения функции на этих точках и на концах заданного отрезка, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции. Если вы предоставите конкретный отрезок, я смогу продолжить решение для вас.