Каковы неравенства для системы х^2-8х+25> 0 и х^2-49

Letuchiy_Fotograf

55

Для начала, рассмотрим первое неравенство: \(x^2 - 8x + 25 > 0\).

Чтобы решить это неравенство, мы можем воспользоваться графическим методом или методом анализа знаков. Давайте воспользуемся методом анализа знаков, так как он чаще используется при решении квадратных неравенств.

1. Рассмотрим выражение \(x^2 - 8x + 25\) в точке, где оно равно нулю. Чтобы найти это значение, используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения: \(\Delta = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -8\) и \(c = 25\). Подставим значения в формулу дискриминанта: \(\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 64 - 100 = -36\).

2. Если дискриминант отрицательный (\(\Delta < 0\)), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, и неравенство \(x^2 - 8x + 25 > 0\) выполняется для всех значений переменной \(x\). То есть, ответом на это неравенство является: \(-\infty < x < +\infty\).

Теперь перейдем ко второму неравенству: \(x^2 - 49 < 0\).

Для решения этого неравенства также используем метод анализа знаков.

1. Рассмотрим выражение \(x^2 - 49\) в точке, где оно равно нулю. Снова используем формулу дискриминанта: \(\Delta = b^2 - 4ac\).

В данном случае, \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -49\). Подставим значения в формулу дискриминанта: \(\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-49) = 0 + 196 = 196\).

2. Если дискриминант положительный (\(\Delta > 0\)), то квадратное уравнение имеет два действительных корня, и неравенство \(x^2 - 49 < 0\) выполняется для всех значений переменной \(x\) между этими двумя корнями. В нашем случае, корни равны \(-7\) и \(7\), так как \((x - 7)(x + 7) = 0\).

Таким образом, ответом на это неравенство является: \(-7 < x < 7\).

Вот и все! Мы получили решения обоих неравенств. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.