Каковы наибольшее и наименьшее значения функции y=x^3+3x^2-45x-2 на интервале: [-6

Yagoda_1704

9

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на данном интервале, нам необходимо использовать два подхода: анализ производной функции и анализ поведения функции на концах интервала.

1. Анализ производной функции:
a) Найдем производную функции y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их:
y" = 3x^2 + 6x - 45.

b) Решим уравнение y" = 0, чтобы найти точку экстремума функции на интервале. Поставим уравнение равным нулю и решим его:
3x^2 + 6x - 45 = 0.
Используя факторизацию или квадратное уравнение, получим:
(x - 3)(x + 5) = 0.
Получаем два корня: x = 3 и x = -5.

c) Найдем значение функции в найденных точках:
Подставим x = 3 в исходную функцию:
y(3) = 3^3 + 3(3)^2 - 45(3) - 2.
y(3) = 27 + 27 - 135 - 2.
y(3) = -83.

Подставим x = -5 в исходную функцию:
y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 2.
y(-5) = -125 + 75 + 225 - 2.
y(-5) = 173.

d) Таким образом, получаем, что наибольшее значение функции на интервале [-6, +∞) равно 173 (достигается в точке x = -5), а наименьшее значение равно -83 (достигается в точке x = 3).

2. Анализ поведения функции на концах интервала:
a) Рассмотрим, что происходит с функцией при стремлении x к бесконечности:
При x -> +∞ функция y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2 будет стремиться к бесконечности (+∞). То есть, значение функции на интервале [-6, +∞) не будет иметь верхней границы.

b) Рассмотрим, что происходит с функцией при стремлении x к левому концу интервала (-∞):
При x -> -∞ функция y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2 также будет стремиться к бесконечности (-∞). То есть, значение функции на интервале [-6, +∞) не будет иметь нижней границы.

Таким образом, в итоге получаем, что наибольшее значение функции равно 173 и достигается в точке x = -5, а наименьшее значение равно -83 и достигается в точке x = 3 на интервале [-6, +∞).