Сколько натуральных x, y, z существует, таких что НОК(x;y;z) равен 1815?

Artur_4511

57

Чтобы найти количество натуральных чисел \(x, y, z\), таких что НОК(\(x\), \(y\), \(z\)) равен 1815, мы должны разложить число 1815 на простые множители и посмотреть, какие возможны комбинации.

Сначала найдем разложение числа 1815 на простые множители.
\[
1815 = 3 \times 5 \times 11 \times 11
\]

Теперь мы можем заметить, что любой общий кратный \(x\), \(y\), и \(z\) должен содержать все эти простые множители в своем разложении.

Возможные варианты для каждого из простых множителей:
- Простой множитель 3: \(3^0\) или \(3^1\)
- Простой множитель 5: \(5^0\) или \(5^1\)
- Простой множитель 11: \(11^0\), \(11^1\), \(11^2\) или \(11^3\)

Теперь у нас есть все необходимые возможности для каждого простого множителя. Чтобы найти общее число вариантов, мы должны умножить эти возможности.

Для множителя 3 у нас 2 варианта (\(3^0\) и \(3^1\)).
Для множителя 5 также 2 варианта (\(5^0\) и \(5^1\)).
Для множителя 11 у нас 4 варианта (\(11^0\), \(11^1\), \(11^2\) и \(11^3\)).

Теперь умножим количество вариантов для каждого простого множителя:

\(2 \times 2 \times 4 = 16\)

Таким образом, количество натуральных чисел \(x, y, z\), таких что НОК(\(x\), \(y\), \(z\)) равен 1815, составляет 16.