Каковы шансы, что из трех случайно выбранных цветов, находящихся в вазе с 5 гвоздиками и 6 нарциссами, по крайней мере

Ящерица

9

Чтобы решить эту задачу, мы должны выяснить, сколько всего возможных комбинаций из трех цветов мы можем получить из 5 гвоздик и 6 нарциссов, а затем определить, сколько из этих комбинаций содержат хотя бы одну гвоздику.

Количество комбинаций из трех цветов, которые мы можем получить из 5 гвоздик и 6 нарциссов, можно вычислить с помощью сочетания. Формула для сочетания задается как \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\), где \(n\) - общее количество объектов для выбора, а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем. В нашем случае, \(n = 11\) (5 гвоздик и 6 нарциссов), а \(k = 3\) (так как мы выбираем три цвета). Подставим значения в формулу:

\[C(11, 3) = \frac{{11!}}{{3! \cdot (11-3)!}} = \frac{{11!}}{{3! \cdot 8!}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 165.\]

Таким образом, у нас есть 165 возможных комбинаций из трех цветов.

Теперь мы должны определить, сколько из этих комбинаций содержат хотя бы одну гвоздику. Есть два способа рассчитать это:

1. Мы можем рассчитать количество комбинаций из трех цветов, в которых нет гвоздик. Это будет комбинация из трех нарциссов, что равно \(C(6, 3)\). Подставим значения в формулу:

\[C(6, 3) = \frac{{6!}}{{3! \cdot (6-3)!}} = \frac{{6!}}{{3! \cdot 3!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 20.\]

Затем мы вычтем это количество из общего количества комбинаций: 165 - 20 = 145. Таким образом, 145 комбинаций из трех цветов содержат по крайней мере одну гвоздику.

2. Или мы можем рассчитать количество комбинаций из трех цветов, в которых есть хотя бы одна гвоздика, и вычесть это количество из общего количества комбинаций. Подсчитаем количество комбинаций, в которых нет гвоздик: \(C(6, 3)\) и вычтем его из общего количества комбинаций:
165 - 20 = 145.

В итоге, мы получаем, что существует 145 комбинаций из трех случайно выбранных цветов, находящихся в вазе с 5 гвоздиками и 6 нарциссами, в которых по крайней мере один из них является гвоздикой.