Каковы скорость и ускорение в момент времени t, если время равно 1,9 секунды по формуле движения точки s(t)=3t^2+t?

Лунный_Хомяк

5

Для решения данной задачи нам необходимо найти скорость и ускорение в момент времени \( t \), а также доказать, что ускорение является постоянной величиной.

Начнем с нахождения скорости точки. Для этого нам потребуется найти производную функции \( s(t) \) по времени \( t \). Производная позволит нам узнать изменение функции в единицу времени, то есть скорость. Подставим функцию \( s(t) = 3t^2 + t \) в формулу для нахождения производной и получим:

\[ v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + t) = 6t + 1 \]

Таким образом, скорость в момент времени \( t \) равна \( v = 6t + 1 \) м/с.

Для нахождения ускорения воспользуемся определением производной скорости по времени:

\[ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t + 1) = 6 \]

Таким образом, ускорение является постоянной величиной и равно \( a = 6 \) м/с².

Теперь давайте докажем, что ускорение является постоянной величиной с использованием определения производной. В определении производной \( \frac{df}{dt} \), где \( f \) - функция, \( t \) - переменная, числитель \( \Delta f \) представляет изменение функции, а знаменатель \( \Delta t \) представляет изменение времени. При малых изменениях времени мы можем записать:

\[ \Delta f \approx \frac{df}{dt} \cdot \Delta t \]

Таким образом, изменение функции \( \Delta f \) можно приблизить произведением производной \( \frac{df}{dt} \) и изменения времени \( \Delta t \). Но при достаточно малых изменениях времени \( \Delta t \rightarrow 0 \) получаем:

\[ \Delta f = \frac{df}{dt} \cdot \Delta t \]

Таким образом, производная \( \frac{df}{dt} \) отображает изменение функции в единицу времени.

Давайте применим это определение к нашей функции \( s(t) = 3t^2 + t \). Используя знания о производных, мы можем найти производную \( \frac{ds}{dt} \), которая представляет скорость \( v \) в момент времени \( t \).

Продолжим наше доказательство:

1. Изменение функции \( \Delta f = s(t + \Delta t) - s(t) \).

Подставим нашу функцию \( s(t) = 3t^2 + t \):

\[ \Delta f = (3(t + \Delta t)^2 + (t + \Delta t)) - (3t^2 + t) \]

2. Раскроем скобки:

\[ \Delta f = (3(t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2) + t + \Delta t) - (3t^2 + t) \]

3. Упростим выражение, удалив повторяющиеся слагаемые:

\[ \Delta f = 6t\Delta t + 3(\Delta t)^2 + \Delta t \]

4. Выделим общий множитель \( \Delta t \):

\[ \Delta f = (6t + 1)\Delta t + 3(\Delta t)^2 \]

5. Делаем предельный переход \( \Delta t \rightarrow 0 \):

\[ \lim_{{\Delta t \to 0}} \Delta f = \lim_{{\Delta t \to 0}} (6t + 1)\Delta t + \lim_{{\Delta t \to 0}} 3(\Delta t)^2 \]

Когда \( \Delta t \) стремится к нулю, второе слагаемое \(\lim_{{\Delta t \to 0}} 3(\Delta t)^2\) также стремится к нулю.

6. Остается:

\[ \lim_{{\Delta t \to 0}} \Delta f = \lim_{{\Delta t \to 0}} (6t + 1)\Delta t \]

7. Получили определение производной:

\[ \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{{\Delta f}}{{\Delta t}} = (6t + 1) \]

То есть производная функции \( \frac{{ds}}{{dt}} \) равна \( 6t + 1 \).

Мы показали, что производная функции \( \frac{{ds}}{{dt}} \) равна константе \( 6 \), что означает, что ускорение является постоянной величиной.