Найдите первообразную функции f(x)=6(x+1)^5+3(2x-1)^2-4x-cos3x, ордината графика которой равна нулю в точке m(0,0

Lev

35

Хорошо! Давайте найдем первообразную функции \(f(x)=6(x+1)^5+3(2x-1)^2-4x-\cos(3x)\), учитывая условие, что ордината графика равна нулю в точке \(m(0,0)\).

Для нахождения первообразной функции, мы будем использовать правила интегрирования и свойства производной. Давайте разложим данную функцию на сумму нескольких функций:

\[f(x) = 6(x+1)^5+3(2x-1)^2-4x-\cos(3x).\]

При интегрировании каждого слагаемого мы можем игнорировать константы и включить их в общую константу интегрирования, так как при дифференцировании они обнулятся. Давайте рассмотрим интегрирование каждого слагаемого по отдельности.

1. Интегрируем \(6(x+1)^5\):

Для интегрирования этого слагаемого, мы используем правило:

\[\int (x+a)^n \, dx = \frac{1}{n+1} (x+a)^{n+1} + C,\]

где \(C\) - это константа интегрирования.

Применяя это правило, получаем:

\[\int 6(x+1)^5 \, dx = 6 \cdot \frac{1}{6}(x+1)^{5+1} + C_1 = (x+1)^6 + C_1.\]

2. Интегрируем \(3(2x-1)^2\):

Мы можем использовать тот же принцип, что и в предыдущем шаге:

\[\int 3(2x-1)^2 \, dx = 3 \int (2x-1)^2 \, dx.\]

Мы можем раскрыть квадрат и применить правило интегрирования:

\[\int (2x-1)^2 \, dx = \frac{1}{3} (2x-1)^{2+1} + C_2 = \frac{1}{3} (2x-1)^3 + C_2.\]

Теперь у нас есть две интегральные части:

\[f(x) = (x+1)^6 + \frac{1}{3} (2x-1)^3 - 4x - \cos(3x).\]

3. Интегрируем \(-4x\):

Для этого слагаемого применим тот же принцип:

\[\int -4x \, dx = -4 \int x \, dx = -4 \cdot \frac{1}{2} x^2 + C_3 = -2x^2 + C_3.\]

4. Интегрируем \(-\cos(3x)\):

Для интегрирования тригонометрической функции применим соответствующее правило:

\[\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C_4,\]

где \(a\) - это параметр.

В нашем случае \(a = 3\), поэтому:

\[\int -\cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x) + C_4.\]

Теперь мы можем собрать все интегральные части вместе:

\[f(x) = (x+1)^6 + \frac{1}{3} (2x-1)^3 - 4x - \cos(3x) = (x+1)^6 + \frac{1}{3} (2x-1)^3 - 2x^2 + \frac{1}{3} \sin(3x) + C,\]

где \(C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4\) - это общая константа интегрирования.

Таким образом, первообразная функции \(f(x)\), удовлетворяющая условию ординаты графика равной нулю в точке \(m(0,0)\), будет иметь вид:

\[F(x) = (x+1)^6 + \frac{1}{3} (2x-1)^3 - 2x^2 + \frac{1}{3} \sin(3x).\]