Каковы значения cosa, tga и ctga, если sina равно 1/6?

Вечная_Зима_617

65

Для решения этой задачи, мы сначала воспользуемся известным тригонометрическим тождеством:
\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1. \]
Мы знаем, что \(\sin \alpha = \frac{1}{6}\), поэтому мы можем выразить \(\cos \alpha\) используя эту формулу.

Умножим обе части тождества на \(\cos^2 \theta\):
\[ \sin^2 \theta \cdot \cos^2 \theta + \cos^4 \theta = \cos^2 \theta. \]
Заменим \(\sin^2 \theta = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}\):
\[ \frac{1}{36} \cdot \cos^2 \theta + \cos^4 \theta = \cos^2 \theta. \]
Избавимся от дроби, умножив каждое слагаемое на 36:
\[ \cos^2 \theta + 36 \cdot \cos^4 \theta = 36 \cdot \cos^2 \theta. \]
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
\[ 36 \cdot \cos^2 \theta - \cos^2 \theta - 36 \cdot \cos^4 \theta = 0. \]
Объединим слагаемые:
\[ (36 - 1) \cdot \cos^2 \theta - 36 \cdot \cos^4 \theta = 0. \]
Приведем подобные слагаемые:
\[ 35 \cdot \cos^2 \theta - 36 \cdot \cos^4 \theta = 0. \]
Найдем общий множитель:
\[ \cos^2 \theta (35 - 36 \cos^2 \theta) = 0. \]
Теперь мы имеем два возможных варианта решения:
1. \(\cos^2 \theta = 0\)
2. \(35 - 36 \cos^2 \theta = 0\)

Первый вариант:
Если \(\cos^2 \theta = 0\), то \(\cos \theta = 0\) или \(\cos \theta = 0\). Но так как cosine является функцией, определенной на интервале \([0, \pi]\), то \(\cos \theta = 0\) – это единственное возможное значение. Таким образом, \(\cos \alpha = 0\).

Второй вариант:
Решим уравнение \(35 - 36 \cos^2 \theta = 0\):
\[ 36 \cos^2 \theta = 35. \]
Разделим обе части на 36:
\[ \cos^2 \theta = \frac{35}{36}. \]
Возьмем квадратный корень от обеих сторон:
\[ \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{35}{36}}. \]
Поскольку cosine является функцией, определенной на интервале \([0, \pi]\), то только положительное значение подходит. Таким образом, \(\cos \alpha = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{5\sqrt{7}}{6}\).

Теперь, чтобы найти значения \(\cos \alpha\), \(\tan \alpha\) и \(\cot \alpha\), мы заметим, что:
\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad \text{и} \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}. \]

Подставим значения \(\sin \alpha = \frac{1}{6}\) и \(\cos \alpha = \frac{5\sqrt{7}}{6}\):
\[ \tan \alpha = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{5\sqrt{7}}{6}} = \frac{1}{5\sqrt{7}} \quad \text{и} \quad \cot \alpha = \frac{\frac{5\sqrt{7}}{6}}{\frac{1}{6}} = 5\sqrt{7}.\]

Итак, значения \(\cos \alpha\), \(\tan \alpha\) и \(\cot \alpha\) равны соответственно:
\[\cos \alpha = \frac{5\sqrt{7}}{6}, \, \tan \alpha = \frac{1}{5\sqrt{7}}, \, \cot \alpha = 5\sqrt{7}.\]