Каковы значения первого и третьего числа в арифметической прогрессии, если среднее число равно 4,8 и первое число

Шерхан

12

Дано, что среднее число в арифметической прогрессии равно 4,8. При этом первое число в 5 раз больше, чем третье число. Найдем значения первого и третьего числа в арифметической прогрессии.

Предположим, что первое число прогрессии равно \( a \), а разность прогрессии равна \( d \).

Так как среднее число равно 4,8, то можно записать уравнение:
\[ \frac{{a + (a + 2d)}}{2} = 4,8 \]

Учитывая, что первое число в 5 раз больше, чем третье, можно записать уравнение:
\[ a = 5 \cdot (a + 2d) \]

Теперь решим систему уравнений методом подстановки.

Заменим \( a \) в первом уравнении:
\[ \frac{{5 \cdot (a + 2d) + (a + 2d)}}{2} = 4,8 \]

Упростим это уравнение:
\[ \frac{{6 \cdot a + 12 \cdot d}}{2} = 4,8 \Rightarrow 3 \cdot a + 6 \cdot d = 4,8 \times 2 \Rightarrow 3 \cdot a + 6 \cdot d = 9,6 \]

Таким образом, у нас получилось одно уравнение с двумя неизвестными. Один из способов решения таких уравнений - метод подстановки. Решим уравнение относительно \( a \):
\[ a = 9,6 - 6 \cdot d \]

Подставим это значение \( a \) в уравнение \( a = 5 \cdot (a + 2d) \):
\[ 9,6 - 6 \cdot d = 5 \cdot ((9,6 - 6 \cdot d) + 2d) \]

Раскроем скобки и упростим:
\[ 9,6 - 6 \cdot d = 5 \cdot (9,6 - 4 \cdot d) \Rightarrow 9,6 - 6 \cdot d = 48 - 20 \cdot d \]

Теперь решим это уравнение относительно \( d \):
\[ 14 \cdot d = 48 - 9,6 \Rightarrow d = \frac{{48 - 9,6}}{14} \]

Выполним вычисления:
\[ d = \frac{{38,4}}{14} = 2,74 \]

Теперь, зная значение \( d \), найдем \( a \):
\[ a = 9,6 - 6 \cdot 2,74 = -5,04 \]

Таким образом, первое число равно -5,04, а третье число равно:
\[ a + 2d = -5,04 + (2 \cdot 2,74) = 0,44 \]

Итак, первое число в арифметической прогрессии равно -5,04, а третье число равно 0,44.