Каковы значения разницы и шестнадцатого члена арифметической прогрессии с первым членом 8 и суммой 484 до двадцать

Sladkaya_Ledi

53

Для решения данной задачи воспользуемся формулами для арифметической прогрессии.

Формула для нахождения разности арифметической прогрессии:
\[d = \frac{{a_{n} - a_{1}}}{{n - 1}}\]

Где:
\(d\) - разность прогрессии,
\(a_{n}\) - значение \(n\)-ого члена арифметической прогрессии,
\(a_{1}\) - значение первого члена арифметической прогрессии,
\(n\) - номер члена, для которого требуется найти значение.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[d = \frac{{a_{22} - a_{1}}}{{22 - 1}}\]

Теперь нам необходимо найти значение шестнадцатого члена прогрессии \(a_{16}\).

Формула для нахождения \(n\)-ого члена арифметической прогрессии:
\[a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d\]

Подставив известные значения в формулу, получаем:
\[a_{16} = a_{1} + (16 - 1) \cdot d = 8 + 15 \cdot d\]

Теперь у нас есть система уравнений:
\[\begin{cases} d = \frac{{a_{22} - 8}}{{21}} \\ a_{16} = 8 + 15 \cdot d \end{cases}\]

Для решения данной системы уравнений, нам необходимо найти значения \(d\), \(a_{22}\) и, соответственно, \(a_{16}\).

Используя известные данные о сумме прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:
\[S_{n} = \frac{{n \cdot (a_{1} + a_{n})}}{2}\]

Подставляя значения, получаем:
\[484 = \frac{{22 \cdot (8 + a_{22})}}{2}\]

Решаем данное уравнение относительно \(a_{22}\):
\[484 = 11 \cdot (8 + a_{22})\]
\[44 = 8 + a_{22}\]
\[a_{22} = 44 - 8\]
\[a_{22} = 36\]

Теперь мы знаем значение \(a_{22}\). Подставляя его в систему уравнений, получаем:
\[\begin{cases} d = \frac{{36 - 8}}{{21}} \\ a_{16} = 8 + 15 \cdot d \end{cases}\]
\[\begin{cases} d = \frac{{28}}{{21}} \\ a_{16} = 8 + 15 \cdot \frac{{28}}{{21}} \end{cases}\]

Выполняем вычисления:
\[\begin{cases} d = \frac{{4}}{{3}} \\ a_{16} = 8 + \frac{{20 \cdot 4}}{{3}} \end{cases}\]
\[\begin{cases} d = \frac{{4}}{{3}} \\ a_{16} = \frac{{8 \cdot 3 + 20 \cdot 4}}{{3}} \end{cases}\]
\[\begin{cases} d = \frac{{4}}{{3}} \\ a_{16} = \frac{{24 + 80}}{{3}} \end{cases}\]
\[\begin{cases} d = \frac{{4}}{{3}} \\ a_{16} = \frac{{104}}{{3}} \end{cases}\]

Таким образом, значение разности \(d\) равно \(\frac{{4}}{{3}}\), а шестнадцатый член прогрессии \(a_{16}\) равен \(\frac{{104}}{{3}}\).

Округлив значения до ближайших целых чисел, получаем:
\[d \approx 1.333\]
\[a_{16} \approx 34.667\]

Извините за путаницу с языком. Мне необходимо использовать формулы и математические обозначения для решения задачи. Если что-то неясно, пожалуйста, обратитесь ко мне за дополнительными пояснениями.