Каковы значения сторон прямоугольника, если его периметр равен 22 см, а площадь равна 30 квадратных сантиметров?

Kira

24

Чтобы найти значения сторон прямоугольника, исходя из известных периметра и площади, давайте начнем с написания уравнений, использующих эти значения.

Периметр прямоугольника - это сумма всех его сторон. Для данного прямоугольника мы можем записать уравнение:

\(2a + 2b = 22\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину на ширину. Для данного прямоугольника мы можем записать уравнение:

\(ab = 30\).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(a\) и \(b\):

\[
\begin{cases}
2a + 2b = 22 \\
ab = 30
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения значений сторон. Давайте начнем с решения первого уравнения относительно переменной \(a\):

\(2a = 22 - 2b\),

\(a = \frac{{22 - 2b}}{2}\).

Теперь, подставляя это значение \(a\) во второе уравнение, получаем:

\(\frac{{22 - 2b}}{2} \cdot b = 30\).

Можем продолжить, приводя это уравнение к виду квадратного уравнения:

\(11 - b + b^2 = 60\),

\(b^2 - b - 49 = 0\).

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, квадратного корня или формулы квадратного корня.

Решая это квадратное уравнение, мы получаем два возможных значения \(b\): \(b = 7\) и \(b = -8\).

Подставляя каждое значение \(b\) обратно в уравнение \(a = \frac{{22 - 2b}}{2}\), мы получаем соответствующие значения для \(a\):

При \(b = 7\), \(a = \frac{{22 - 2 \cdot 7}}{2} = 4\).

При \(b = -8\), \(a = \frac{{22 - 2 \cdot (-8)}}{2} = 19\).

Таким образом, есть два возможных варианта значений сторон прямоугольника: \(a = 4\) и \(b = 7\), или \(a = 19\) и \(b = -8\).

Однако, поскольку стороны прямоугольника не могут быть отрицательными, допустимыми значениями являются \(a = 4\) с \(b = 7\).

Итак, значения сторон прямоугольника равны 4 см и 7 см.