Каковы значения сторон треугольника, если радиус вписанной окружности r равен √13, T приблизительно равно 106°

Александра

66

Чтобы найти значения сторон треугольника, нам понадобится применить несколько математических формул и свойств треугольников.

Дано, что радиус вписанной окружности \(r\) равен \(\sqrt{13}\), а углы \(T\) и \(S\) треугольника приблизительно равны 106° и 14° соответственно.

Заметим, что в треугольнике с вписанной окружностью радиусом \(r\), можно ввести понятие лицевого угла, обозначим его как \(A\). Лицевой угол это угол между стороной треугольника и касательной к окружности, проведенной из точки касания.

Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\) со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) — противолежащая \(A\), \(b\) — противолежащая \(B\) и \(c\) — противолежащая \(C\). Также, углы треугольника обозначим как \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, можем записать:

\[A + B + C = 180° \qquad (1)\]

Связь лицевого угла и углов треугольника:

\[A = \frac{180° - T}{2} \qquad (2)\]
\[B = \frac{180° - S}{2} \qquad (3)\]

Таким образом, мы можем определить все три угла треугольника \(ABC\).

Теперь у нас есть достаточно информации для применения теоремы синусов. Данная теорема устанавливает связь между сторонами треугольника и синусами его углов. Для треугольника \(ABC\), можем записать:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \qquad (4)\]

Теперь применим формулы, чтобы найти значения сторон треугольника:

1. Найдем значением углов \(A\) и \(B\) с использованием формул (2) и (3):
\[A = \frac{180° - 106°}{2} = 37°\]
\[B = \frac{180° - 14°}{2} = 83°\]

2. Найдем значение угла \(C\) с использованием формулы (1):
\[C = 180° - A - B = 180° - 37° - 83° = 60°\]

3. Применим теорему синусов, формулу (4), чтобы найти значения сторон треугольника:
\[\frac{a}{\sin 37°} = \frac{b}{\sin 83°} = \frac{c}{\sin 60°}\]

4. Выразим значения сторон:
\[a = \sin 37° \cdot \frac{c}{\sin 60°}\]
\[b = \sin 83° \cdot \frac{c}{\sin 60°}\]
\[c = \sin 60° \cdot \frac{b}{\sin 83°}\]

5. Подставим значение радиуса вписанной окружности равное \(\sqrt{13}\) (диаметр равен удвоенному значению радиуса) в формулу для нахождения стороны \(a\):
\[a = \sin 37° \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sin 60°}\]

Таким образом, используя эти формулы, мы можем вычислить значения всех сторон треугольника \(ABC\). Пожалуйста, просчитайте эти выражения и найдите значения сторон треугольника целыми числами.