Каковы значения x, при которых функция y = -x² + 6x - 5 не меняет знак?

Lvica

19

Хорошо! Давайте решим данную задачу. Для начала, чтобы найти значения \(x\), при которых функция \(y = -x^2 + 6x - 5\) не меняет знак, нам нужно определить, когда она равна нулю.

Для этого мы можем использовать метод факторизации или квадратное уравнение. Предлагаю воспользоваться квадратным уравнением, так как данная функция является квадратным трехчленом.

Шаг 1: Записываем уравнение в виде \(y = 0\):
\[-x^2 + 6x - 5 = 0\]

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение. Для этого можем воспользоваться формулой дискриминанта: \(\Delta = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае, \(a = -1\), \(b = 6\) и \(c = -5\).

Шаг 3: Вычисляем значение дискриминанта:
\[\Delta = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 36 - 20 = 16\]

Шаг 4: Определяем тип решений квадратного уравнения, исходя из значения дискриминанта:
- Если \(\Delta > 0\), то уравнение имеет два корня, и функция пересекает ось \(x\) в двух точках.
- Если \(\Delta = 0\), то уравнение имеет один корень, и функция касается оси \(x\) в одной точке.
- Если \(\Delta < 0\), то уравнение не имеет корней, и функция не пересекает ось \(x\).

В нашем случае, так как \(\Delta = 16 > 0\), уравнение имеет два корня.

Шаг 5: Находим значения \(x\) при которых функция \(y = -x^2 + 6x - 5\) равна нулю. Для этого применяем формулу корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Подставляем значения в формулу:
\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)}\]
\[x = \frac{-6 \pm 4}{-2}\]

Вычисляем значения:
\[x_1 = \frac{-6 + 4}{-2} = -1\]
\[x_2 = \frac{-6 - 4}{-2} = 5\]

Шаг 6: Составляем ответ. Функция \(y = -x^2 + 6x - 5\) меняет знак при \(x < -1\) и \(x > 5\). Она не меняет знак при \(x = -1\) и \(x = 5\).

Таким образом, значения \(x\), при которых функция \(y = -x^2 + 6x - 5\) не меняет знак, равны \(x = -1\) и \(x = 5\).