Найдите максимальное значение выражения при условии, что а> 0, в> 0 и 2а + 3в=12

Роза

62

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу. У нас есть условие \(2a + 3b = 12\), а мы должны найти максимальное значение выражения. Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Переставим уравнение таким образом, чтобы оно было в виде \(a =\) или \(b =\), чтобы мы могли использовать его для последующих вычислений. Для этого разделим обе стороны данного уравнения на 2, получим \[a = 6 - \frac{3}{2}b.\]

Шаг 2: Теперь, зная эту формулу для \(a\), мы можем подставить ее в наше выражение и получить функцию только от \(b\). Заменим \(a\) в выражении \(a \cdot b\) на \(6 - \frac{3}{2}b\). Получим \[f(b) = (6 - \frac{3}{2}b) \cdot b.\]

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим функцию. Умножим \(6\) на \(b\) и \(-\frac{3}{2}b\) на \(b\). Получим \[f(b) = 6b - \frac{3}{2}b^2.\]

Шаг 4: Теперь у нас есть функция, которую мы можем оптимизировать, чтобы найти ее максимальное значение. Для этого найдем вершину параболы, заданной нашей функцией. Вершина параболы находится на оси симметрии, которая имеет формулу \(b = -\frac{b_{\text{коэффициента}}}{2 \cdot a_{\text{коэффициента}}}\). В нашем случае, коэффициент \(a\) равен \(-\frac{3}{2}\) и коэффициент \(b\) равен \(6\). Подставим эти значения в формулу и найдем \(b\) координату вершины параболы.

\(b = -\frac{6}{2 \cdot (-\frac{3}{2})}.\)

Расчитаем эту формулу:

\(b = -\frac{6}{-3} = 2.\)

Шаг 5: Теперь, когда мы нашли значение \(b\) у нас есть точка вершины параболы (\(2, f(2)\)). Чтобы найти \(a\), мы можем использовать уравнение из шага 1:

\(a = 6 - \frac{3}{2} \cdot 2 = 6 - 3 = 3.\)

Шаг 6: Мы нашли значения \(a\) и \(b\) для максимального значения выражения. Вставим их обратно в выражение и посчитаем:

\(f(3, 2) = (6 - \frac{3}{2} \cdot 2) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6.\)

Итак, максимальное значение данного выражения при условии \(a > 0\), \(b > 0\) и \(2a + 3b = 12\) равно 6.

Я надеюсь, что данный пошаговый процесс помог вам понять, как мы пришли к этому ответу. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задайте их!