Какой будет изменение высоты ∆h уровня воды в сосуде, если гиря, подвешенная к динамометру, опускается в сосуд

Musya

37

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон Архимеда и уравнение Ньютона второго закона.

Закон Архимеда утверждает, что на тело, погруженное в жидкость, действует всплывающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Запишем этот закон в математической форме:

\[F_{\text{вспл}} = \rho \cdot V \cdot g,\]

где \(F_{\text{вспл}}\) - всплывающая сила, \(\rho\) - плотность жидкости, \(V\) - объем вытесненной жидкости, \(g\) - ускорение свободного падения.

Теперь рассмотрим систему из сосуда, воды и подвешенной гири. Когда гиря опускается в сосуд, она вытесняет определенный объем воды. Так как уровень воды изменяется, объем вытесненной воды будет равен площади дна сосуда, умноженной на изменение высоты уровня воды. Обозначим эту высоту как \(\Delta h\).

Тогда всплывающая сила будет равна весу опущенной гири. По условию задачи, изменение показания динамометра равно \(\Delta F = 0.5\) Н. Используя уравнение Ньютона второго закона \(F = m \cdot a\), где \(m\) - масса гири, а \(a\) - ускорение, запишем:

\[F_{\text{вспл}} = \Delta F = m \cdot g.\]

Теперь можно приравнять всплывающую силу и вес опущенной гири:

\[\rho \cdot V \cdot g = m \cdot g.\]

Объем вытесненной воды \(V\) равен площади дна сосуда, умноженной на изменение высоты уровня воды \(\Delta h\):

\[\rho \cdot S \cdot \Delta h \cdot g = m \cdot g.\]

Ускорение свободного падения \(g\) сокращается с обеих сторон, и мы можем выразить изменение высоты уровня воды \(\Delta h\):

\[\Delta h = \frac{m}{\rho \cdot S},\]

где \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\) - плотность воды, \(S = 25\) см\(^2\) - площадь дна сосуда.

Теперь осталось найти массу гири \(m\). Можно воспользоваться уравнением \(F = m \cdot g\) и подставить значение изменения показания динамометра:

\[\Delta F = m \cdot g.\]

Решим это уравнение относительно массы гири \(m\):

\[m = \frac{\Delta F}{g}.\]

Подставляя это значение массы в формулу для изменения высоты уровня воды, получим:

\[\Delta h = \frac{\frac{\Delta F}{g}}{\rho \cdot S}.\]

Вычислим данное выражение:

\[\Delta h = \frac{0.5}{10 \cdot 1000 \cdot 25}.\]

Имеем:

\[\Delta h = \frac{0.5}{25000}.\]

Таким образом, изменение высоты уровня воды \(\Delta h\) будет равно \(\frac{0.5}{25000}\) метра или \(0.00002\) метра, что в переводе в сантиметры составляет \(0.002\) см.

Итак, изменение высоты уровня воды составит \(0.002\) сантиметра.