Какой будет остаток от суммы факториалов чисел 1 до 100?

Пчелка

26

Чтобы найти остаток от суммы факториалов чисел от 1 до 100, мы должны сначала вычислить эту сумму, а затем найти остаток от нее.

Давайте начнем с вычисления суммы факториалов чисел от 1 до 100. Факториал числа - это произведение всех целых чисел от 1 до самого числа. Обозначается факториал числа \(n\) как \(n!\).

Таким образом, сумма факториалов чисел от 1 до 100 записывается как:

\[1! + 2! + 3! + ... + 100!\]

Для удобства рассмотрим эту задачу пошагово. Начнем с 1!:
\[1! = 1\]

Затем рассмотрим 2!:
\[2! = 2 \times 1 = 2\]

Продолжим с 3!:
\[3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\]

Мы можем продолжать этот процесс, постепенно увеличивая число и находя факториалы для каждого числа от 1 до 100.

Далее:
\[4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\]
\[5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\]
\[6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\]
и так далее, пока мы не пройдем все числа от 1 до 100.

Чтобы вычислить сумму всех факториалов чисел от 1 до 100, нужно сложить все полученные факториалы:
\[1! + 2! + 3! + ... + 100! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + ...\]

Однако, для школьника может быть сложно вычислить сумму такого большого количества чисел и факториалов. Тем не менее, мы можем заметить, что многие слагаемые в этой сумме имеют общий множитель 10, так как факториалы чисел от 11 до 100 заканчиваются нулями (например, 10!, 20!, 30! и т.д.).

Рассмотрим некоторые слагаемые с общим множителем 10:
\[10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3 628 800\]
\[20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times ... \times 1 = 2 432 902 008 176 640 000\]

Из этих двух примеров видно, что последние два десятка в числе 20! дают нули в конце. То же самое можно сказать и о факториалах чисел от 30 до 100. Это означает, что сумма факториалов чисел от 11 до 100 будет иметь множитель 10, что приведет к большому количеству нулей в конце.

Таким образом, практически все слагаемые в сумме \(1! + 2! + 3! + ... + 100!\) будут давать нули в конце, за исключением первых нескольких слагаемых (1!, 2!, 3! и т.д.).

Поскольку мы ищем остаток от этой суммы, нам необязательно вычислять все факториалы и сложить их. Мы можем сосредоточиться только на первых нескольких слагаемых:

\[1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6!\]

\[= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720\]

\[= 873\]

Теперь, чтобы найти остаток от суммы факториалов чисел от 1 до 100, мы должны найти остаток от числа 873 при делении на 10.

\[873 \mod 10 = 3\]

Таким образом, остаток от суммы факториалов чисел от 1 до 100 равен 3.