Какой член прогрессии имеет порядковый номер 13, если отношение этого члена к предыдущему члену равно отношению 14-го

Darya_7711

52

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для общего члена арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем прибавления определенного значения \(d\) к предыдущему числу.

Общая формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии выглядит так:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Где:
\(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии
\(a_1\) - первый член прогрессии
\(d\) - разность между соседними членами прогрессии

Мы знаем, что отношение этого члена к предыдущему члену равно отношению 14-го члена к предыдущему члену. Обозначим первый член прогрессии как \(a_1\) и разность между членами как \(d\).

Используя формулу для отношения прогрессии, у нас есть:
\(\frac{{a_{13}}}{{a_{12}}} = \frac{{a_{14}}}{{a_{13}}}\)

Подставляя значения из общей формулы арифметической прогрессии, мы получаем:
\(\frac{{a_1 + (13-1)d}}{{a_1 + (12-1)d}} = \frac{{a_1 + (14-1)d}}{{a_1 + (13-1)d}}\)

Упростим правую часть уравнения:
\(\frac{{a_1 + 13d}}{{a_1 + 12d}} = \frac{{a_1 + 14d}}{{a_1 + 13d}}\)

Далее, умножим обе части уравнения на \((a_1 + 12d)(a_1 + 13d)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\((a_1 + 13d)(a_1 + 12d) = (a_1 + 14d)(a_1 + 13d)\)

Раскроем скобки:
\(a_1^2 + 25ad + 144d^2 = a_1^2 + 27ad + 182d^2\)

Сократим одинаковые слагаемые с обеих сторон уравнения:
\(25ad + 144d^2 = 27ad + 182d^2\)

Вычтем \(25ad\) с обеих сторон и вычтем \(144d^2\) с обеих сторон:
\(25d^2 + 2ad = 0\)

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить относительно неизвестного \(d\):
\(25d^2 + 2ad = 0\)

Мы получили \(d = 0\) или \(25d + 2a = 0\)

Так как \(d\) не может быть равно 0, то рассмотрим второй вариант:
\(25d + 2a = 0\)

Мы можем выразить \(a\) через \(d\):
\(2a = -25d\)

Разделим обе части уравнения на 2:
\(a = -\frac{{25}}{{2}}d\)

Теперь, имея это выражение для \(a\), мы можем найти \(a_{13}\), используя общую формулу для \(n\)-го члена прогрессии:
\(a_{13} = a_1 + (13-1)d = -\frac{{25}}{{2}}d + 12d = -\frac{{25}}{{2}}d + \frac{{24}}{{2}}d = -\frac{{d}}{{2}}\)

Таким образом, \(a_{13} = -\frac{{d}}{{2}}\).

Ответ: Член прогрессии с порядковым номером 13 равен \(-\frac{{d}}{{2}}\).