Какой должен быть радиус каркаса катушки для радиоприемника, если требуется изготовить катушку с индуктивностью

Артур

23

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для индуктивности катушки:

\[L = \frac{{\mu_0 \cdot N^2 \cdot A}}{{l}}\]

где:
\(L\) - индуктивность катушки,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (примерно равна \(4\pi \times 10^{-7}\, \text{Гн/м}\)),
\(N\) - количество витков в катушке,
\(A\) - площадь поперечного сечения катушки,
\(l\) - длина катушки.

Мы уже знаем, что индуктивность (\(L\)) должна быть равна \(10\, \text{мкГн}\), количество витков (\(N\)) равно \(50\), а длина (\(l\)) равна \(9,86\, \text{м}\). Остается определить площадь поперечного сечения катушки (\(A\)) и использовать эту информацию, чтобы найти радиус каркаса.

Для удобства давайте преобразуем формулу следующим образом:

\[A = \frac{{L \cdot l}}{{\mu_0 \cdot N^2}}\]

Теперь мы можем подставить известные значения:

\[A = \frac{{10 \times 10^{-6} \, \text{Гн} \cdot 9,86 \, \text{м}}}{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Гн/м} \cdot 50^2}}\]

Степень двадцать во второй степени равна четырем тысячам пятисоту. Продолжим расчет:

\[A = \frac{{10 \times 10^{-6} \cdot 9,86}}{{4\pi \times 10^{-7} \cdot 2500}}\]

Достаточно сложное выражение, но давайте воспользуемся нашим калькулятором для упрощения. Получаем:

\[A \approx 3.954 \times 10^{-4} \, \text{м}^2\]

Теперь у нас есть площадь поперечного сечения катушки (\(A\)). Для определения радиуса каркаса катушки (\(r\)) мы можем использовать формулу для площади круга, так как катушка имеет круглую форму:

\[A = \pi \cdot r^2\]

Мы можем переписать это уравнение для нахождения радиуса:

\[r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\]

Теперь подставим значение площади (\(A\)):

\[r = \sqrt{\frac{3.954 \times 10^{-4} \, \text{м}^2}{\pi}}\]

Тем же образом, мы можем использовать наш калькулятор для получения численного значения:

\[r \approx 0.0112 \, \text{м} \approx 11.2 \, \text{мм}\]

Таким образом, радиус каркаса катушки для радиоприемника должен быть примерно равен \(11,2\) миллиметра.