Какой должна быть ширина отверстия ключа для шестигранной гайки с правильным шестиугольным основанием (см. рис

Zolotoy_Drakon_8705

16

Для решения этой задачи нам понадобится некоторая геометрическая информация. Давайте разберемся в деталях.

Форма гайки является правильным шестиугольником, что означает, что у нее шесть равных сторон и углов. Известно, что ширина грани гайки составляет 25 мм.

Если мы посмотрим на сечение гайки с ключом, мы увидим, что форма ключа должна повторять форму грани гайки с некоторым зазором. Зазор между грани гайки и ключа позволяет ключу легко входить и поворачивать гайку.

Давайте представим, что мы создаем правильный шестиугольник вокруг гайки с помощью внутреннего вписанного правильного шестиугольника, который будет соответствовать форме ключа. Пусть сторона этого вписанного шестиугольника составляет \(x\) мм.

Теперь нам нужно учесть зазор между грани гайки и ключа. Если зазор составляет \(z\) мм, тогда ширина отверстия ключа должна быть равна длине стороны внутреннего вписанного шестиугольника плюс двойной зазор, так как зазор есть с обоих сторон ключа.

Таким образом, мы можем записать уравнение для ширины отверстия ключа:

\[Ширина\;отверстия\;ключа = x + 2z\]

Нам нужно найти \(x\), исходя из известных данных. Для этого мы можем использовать связь между стороной внутреннего вписанного шестиугольника и стороной внешнего правильного шестиугольника.

Заметим, что сторона внутреннего вписанного правильного шестиугольника составляет половину длины грани гайки (25 мм).

Теперь давайте найдем длину стороны внешнего правильного шестиугольника. Для этого мы можем использовать формулу для расчета длины стороны правильного многоугольника:

\[длина\;стороны\;многоугольника = \frac{{2 \cdot R \cdot sin(\frac{{\pi}}{{n}})}}{{sin(\frac{{2 \pi}}{{n}})}}\]

где \(R\) - радиус внешней окружности, а \(n\) - количество сторон многоугольника.

В нашем случае у нас шестиугольник, поэтому \(n = 6\).

Теперь давайте найдем радиус внешней окружности. Это можно сделать, разделив сторону внешнего правильного шестиугольника на \(2 \cdot sin(\frac{{\pi}}{{6}})\).

\[Радиус\;внешней\;окружности = \frac{{25}}{{2 \cdot sin(\frac{{\pi}}{{6}})}}\]

Теперь, зная радиус внешней окружности, мы можем найти длину стороны внешнего правильного шестиугольника, которую обозначим как \(S\).

\[длина\;стороны\;многоугольника = \frac{{2 \cdot Радиус\;внешней\;окружности \cdot sin(\frac{{\pi}}{{6}})}}{{sin(\frac{{2 \pi}}{{6}})}}\]

\[S = \frac{{2 \cdot \frac{{25}}{{2 \cdot sin(\frac{{\pi}}{{6}})}} \cdot sin(\frac{{\pi}}{{6}})}}{{sin(\frac{{2 \pi}}{{6}})}}\]

\[S = \frac{{25}}{{sin(\frac{{2 \pi}}{{6}})}}\]

Теперь мы имеем значение длины стороны внешнего правильного шестиугольника \(S\).

Наконец, подставим значение \(S\) в уравнение для ширины отверстия ключа:

\[Ширина\;отверстия\;ключа = S + 2z\]

\[Ширина\;отверстия\;ключа = \frac{{25}}{{sin(\frac{{2 \pi}}{{6}})}} + 2z\]

Полученное выражение даст нам ответ на вопрос задачи. Вы можете решить это уравнение для определения точного значения ширины отверстия ключа.