Какой интервал является промежутком возрастания функции y=5(x+1/3)2?

Ледяной_Огонь_7000

51

Для определения интервала возрастания функции \(y = 5(x+\frac{1}{3})^2\) нам необходимо проанализировать поведение функции и выяснить, при каких значениях переменной \(x\) функция возрастает.

Для начала, функцию можно представить в более удобной форме. Раскроем квадрат, умножим коэффициент 5 и упростим выражение:

\[y = 5(x+\frac{1}{3})^2 = 5(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}) = 5x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{5}{9}\]

Теперь мы имеем функцию в виде квадратного уравнения. Чтобы определить интервалы возрастания, нам нужно изучить знак ее производной (производная показывает нам, куда направлена скорость изменения функции).

Возьмем производную от функции \(y\) по переменной \(x\):

\[y" = \frac{d}{dx}(5x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{5}{9})\]

Для упрощения вычислений предлагаю использовать правило дифференцирования степенной функции:

\[\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}\]

Применяя это правило к каждому слагаемому в предыдущем выражении, получаем:

\[y" = 10x + \frac{10}{3}\]

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

\[10x + \frac{10}{3} = 0\]

Для решения этого уравнения выведем x за скобку:

\[10x = -\frac{10}{3}\]

\[x = -\frac{1}{3}\]

Мы получили одну стационарную точку \(x = -\frac{1}{3}\), которую мы назовем \(x_0\).

Чтобы определить, является ли эта точка локальным максимумом или минимумом, проведем вторую производную:

\[y"" = \frac{d^2}{dx^2}(10x + \frac{10}{3})\]

Применим правило дифференцирования линейной функции:

\[\frac{d^2}{dx^2}(mx + b) = 0\]

В данном случае \(m = 10\), а \(b = \frac{10}{3}\), поэтому

\[y"" = 0\]

Это означает, что у нас нет локальных максимумов или минимумов, и функция \(y = 5(x+\frac{1}{3})^2\) возрастает на всей числовой прямой.

Итак, интервал возрастания функции \(y = 5(x+\frac{1}{3})^2\) - это весь диапазон значений переменной \(x\).