Какой из двух алюминиевых проводов имеет большее сопротивление и во сколько раз оно больше, если первый провод имеет

Milaya

57

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для сопротивления провода:

\[R = \frac{{\rho \cdot L}}{A}\]

где \(R\) - сопротивление провода, \(\rho\) - удельное сопротивление материала провода, \(L\) - длина провода, \(A\) - площадь поперечного сечения провода.

При условии, что масса проводов одинакова, мы можем сделать вывод, что масса провода пропорциональна его объему:

\[m \propto V\]

Объем провода можно выразить через площадь поперечного сечения и длину провода:

\[V = A \cdot L\]

Таким образом, если масса провода одинакова, то их площади поперечного сечения и длины связаны следующим образом:

\[A_1 \cdot L_1 = A_2 \cdot L_2 \quad (1)\]

Теперь рассмотрим отношение сопротивлений проводов:

\[\frac{{R_1}}{{R_2}} = \frac{{\frac{{\rho \cdot L_1}}{{A_1}}}}{{\frac{{\rho \cdot L_2}}{{A_2}}}} = \frac{{L_1 \cdot A_2}}{{L_2 \cdot A_1}} \quad (2)\]

Из уравнения (1) мы можем выразить \(L_1\) через \(L_2\):

\[L_1 = \frac{{A_2 \cdot L_2}}{{A_1}}\]

Подставим это выражение в уравнение (2):

\[\frac{{R_1}}{{R_2}} = \frac{{\frac{{A_2 \cdot L_2}}{{A_1}} \cdot A_2}}{{L_2 \cdot A_1}} = \frac{{A_2^2}}{{A_1 \cdot L_2}} \quad (3)\]

Теперь у нас есть выражение для отношения сопротивлений проводов. Для дальнейшего решения нам необходимо знать, как связаны диаметр и площадь поперечного сечения провода.

Площадь поперечного сечения провода можно выразить через его диаметр:

\[A = \frac{{\pi \cdot d^2}}{4}\]

Рассмотрим два провода с диаметрами \(d_1\) и \(d_2\). Подставим эти выражения в уравнение (3):

\[\frac{{R_1}}{{R_2}} = \frac{{\left(\frac{{\pi \cdot d_2^2}}{4}\right)^2}}{{\frac{{\pi \cdot d_1^2}}{4} \cdot L_2}} = \frac{{\pi^2 \cdot d_2^4}}{{4 \cdot \pi \cdot d_1^2 \cdot L_2}}\]

Упростим это выражение:

\[\frac{{R_1}}{{R_2}} = \frac{{\pi \cdot d_2^4}}{{4 \cdot d_1^2 \cdot L_2}} \quad (4)\]

Теперь мы можем сравнить сопротивления двух проводов. В задаче сказано, что первый провод имеет в 2 раза больший диаметр, чем второй. Подставим это условие в уравнение (4):

\[\frac{{R_1}}{{R_2}} = \frac{{\pi \cdot (2d_2)^4}}{{4 \cdot d_1^2 \cdot L_2}} = \frac{{16 \cdot \pi \cdot d_2^4}}{{4 \cdot d_1^2 \cdot L_2}} \quad (5)\]

Таким образом, отношение сопротивлений проводов равно \(\frac{{16 \cdot \pi \cdot d_2^4}}{{4 \cdot d_1^2 \cdot L_2}}\).

Исходя из этого, первый провод будет иметь большее сопротивление, так как диаметры проводов и их длины одинаковы, а числитель в формуле (5) будет больше. Отношение сопротивлений будет равно \(\frac{{16 \cdot d_2^4}}{{d_1^2}}\).

После окончательной упрощения этого выражения и подстановки значения \(d_1 = 2d_2\) мы получим:

\[\frac{{R_1}}{{R_2}} = \frac{{16 \cdot d_2^4}}{{d_1^2}} = \frac{{16}}{{4}} = 4\]

Таким образом, первый провод имеет сопротивление в 4 раза большее, чем второй провод.