Какой из приведенных чисел является корнем неравенства (х - 2)(х - - 5) > 0: 1) 3; 2) 2; 3) 6; 4) -1? (решение

Zolotaya_Zavesa

41

Чтобы решить данную задачу, мы должны понять, какие значения переменной х удовлетворяют неравенству \((x - 2)(x - -5) > 0\).

Для начала, давайте рассмотрим, каким будет произведение двух факторов \((x - 2)\) и \((x - -5)\). При раскрытии скобок получим:

\((x - 2)(x + 5) = x(x + 5) - 2(x + 5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10\)

Теперь мы получили квадратное уравнение \(x^2 + 3x - 10 > 0\). Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют этому неравенству, мы можем использовать метод интервалов.

1. Начнем с того, что найдем корни уравнения \(x^2 + 3x - 10 = 0\). Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае a = 1, b = 3 и c = -10. Подставим значения в формулу дискриминанта:

\(D = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\).

2. Как мы видим, дискриминант \(D > 0\), что означает, что уравнение имеет два различных корня.

3. Найдем сначала корень \(x_1\):

\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2} = -5\).

4. Теперь найдем корень \(x_2\):

\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2} = 2\).

5. Таким образом, у нас есть два корня \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 2\).

Теперь мы можем использовать эти корни, чтобы понять, какие значения x удовлетворяют неравенству \((x - 2)(x - -5) > 0\).

Для этого нам нужно разделить числовую ось на три интервала, используя найденные корни:

1-й интервал: \(-\infty < x < -5\)
2-й интервал: \(-5 < x < 2\)
3-й интервал: \(x > 2\)

6. Теперь мы должны определить знак произведения \((x - 2)(x - -5)\) в каждом из этих интервалов.

- В 1-м интервале: возьмем любое число, например, -6, и подставим его в выражение \((x - 2)(x - -5)\):

\((-6 - 2)(-6 - -5) = (-8)(-1) = 8 > 0\)

Таким образом, в 1-м интервале произведение положительное.

- Во 2-м интервале: возьмем любое число, например, 0, и подставим его в выражение \((x - 2)(x - -5)\):

\((0 - 2)(0 - -5) = (-2)(5) = -10 < 0\)

Во 2-м интервале произведение отрицательное.

- В 3-м интервале: возьмем любое число, например, 3, и подставим его в выражение \((x - 2)(x - -5)\):

\((3 - 2)(3 - -5) = (1)(8) = 8 > 0\)

В 3-м интервале произведение положительное.

7. Таким образом, только в 1-м и 3-м интервалах значение выражения \((x - 2)(x - -5)\) положительное.

Ответ: Из представленных чисел только числа 3 и 6 являются корнями неравенства \((x - 2)(x - -5) > 0\).