Какой максимальный угол наклона плоскости необходим, чтобы цилиндр не начал скатываться, если у него имеется

Yangol

62

Для решения данной задачи нам необходимо учесть условие, при котором цилиндр не начинает скатываться. Чтобы цилиндр оставался неподвижным, необходимо, чтобы проекция силы тяжести \(F_{т}\) на плоскость, задающую наклон и нормальную силу опоры \(F_{н}\), удерживали цилиндр на месте. То есть, должно выполняться условие равномерного движения, где сила трения \(F_{тр}\) равна проекции силы тяжести:

\[F_{тр} = F_{н}\]

Цилиндр будет скатываться, когда сила трения меньше силы тяжести, или математически:

\[F_{тр} < F_{н}\]

Перейдем теперь к выражениям, связанным с геометрическими характеристиками цилиндра. Радиус цилиндрической полости обозначим как \(r_п\) (в сантиметрах), и расстояние от оси цилиндра до центра полости обозначим как \(h\) (также в сантиметрах).

Проекцию силы тяжести на плоскость наклона можно выразить как \(F_{т} = m \cdot g \cdot \sin(\theta)\), где \(m\) - масса цилиндра (в килограммах), \(g\) - ускорение свободного падения (примерно \(9.8 \, \text{м/с}^2\)), а \(\theta\) - угол наклона плоскости (в градусах).

Теперь выразим нормальную силу опоры как \(F_{н} = m \cdot g \cdot \cos(\theta)\).

Таким образом, сила трения может быть записана как \(F_{тр} = \mu \cdot F_{н}\), где \(\mu\) - коэффициент трения между поверхностью цилиндра и плоскостью (безразмерная величина).

Теперь подставим выражения для \(F_{т}\) и \(F_{н}\) в условие \(F_{тр} < F_{н}\):

\[\mu \cdot F_{н} < F_{н}\]

Далее подставим выражения для \(F_{т}\) и \(F_{н}\):

\[\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta) < m \cdot g \cdot \sin(\theta)\]

Упростим это выражение, разделив обе его части на \(m \cdot g\):

\[\mu \cdot \cos(\theta) < \sin(\theta)\]

Мы можем отбросить массу цилиндра и ускорение свободного падения, так как они будут сокращаться со всех частей уравнения.

Теперь найдем максимальный угол наклона плоскости, для которого выполняется это неравенство. Для этого рассмотрим значения тангенса угла \(\theta\) (так как \(\tan(\theta) = \frac{{\sin(\theta)}}{{\cos(\theta)}}\)).

Мы знаем, что \(0 \leq \theta \leq 90^\circ\) (поскольку мы ищем максимальный угол). Тангенс \(\theta\) возрастает от 0 до бесконечности на этом интервале. Следовательно, суще