Какой многочлен имеет корни, противоположные корням многочлена 2х³-8х²+3х-4, если коэффициент при х³ равен?

Zvezdopad_Na_Gorizonte_4935

18

Для начала, нам нужно найти корни многочлена \(2x^3 - 8x^2 + 3x - 4\). Затем мы можем использовать эти корни, чтобы построить новый многочлен с противоположными корнями.

Для поиска корней многочлена, мы можем использовать различные методы, такие как метод подстановки или использование формулы корней. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Начнем подстановкой значений в многочлен и проверкой, дает ли это нам ноль. Если значение даёт ноль, то это будет корень многочлена. Давайте начнем с поиска корней многочлена \(2x^3 - 8x^2 + 3x - 4\):

Подставим \(x = 1\):
\[2(1)^3 - 8(1)^2 + 3(1) - 4 = 2 - 8 + 3 - 4 = -7\]
Таким образом, \(x = 1\) не является корнем многочлена.

Подставим \(x = -1\):
\[2(-1)^3 - 8(-1)^2 + 3(-1) - 4 = -2 - 8 - 3 - 4 = -17\]
Таким образом, \(x = -1\) не является корнем многочлена.

Подставим \(x = 2\):
\[2(2)^3 - 8(2)^2 + 3(2) - 4 = 16 - 32 + 6 - 4 = -14\]
Таким образом, \(x = 2\) не является корнем многочлена.

Подставим \(x = -2\):
\[2(-2)^3 - 8(-2)^2 + 3(-2) - 4 = -16 - 32 - 6 - 4 = -58\]
Таким образом, \(x = -2\) не является корнем многочлена.

Перейдем к использованию формулы корней и найдем точные значения корней многочлена:

Для многочлена \(2x^3 - 8x^2 + 3x - 4\), мы можем использовать формулу корней многочлена методом извлечения кубического корня:

\[x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}\]

Где \(p\) и \(q\) выражены следующим образом:

\[p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}\]
\[q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\]

Для нашего многочлена \(2x^3 - 8x^2 + 3x - 4\), мы можем определить \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 3\) и \(d = -4\).

Рассчитаем значения \(p\) и \(q\):

\[p = \frac{3(2)(3) - (-8)^2}{3(2)^2} = \frac{18 - 64}{12} = -3\]
\[q = \frac{2(-8)^3 - 9(2)(-8)(3) + 27(2)^2(-4)}{27(2)^3} = \frac{-1024 - 432 + 432}{216} = -4\]

Теперь мы можем подставить значения \(p\) и \(q\) в формулу для нахождения корней:

\[x = \sqrt[3]{\frac{-4}{2} + \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{(-3)^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-4}{2} - \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{(-3)^3}{27}}}\]

Выполнив вычисления, мы получим следующие значения:

\[x_1 = \sqrt[3]{-2 + \sqrt{1}} + \sqrt[3]{-2 - \sqrt{1}}\]
\[x_2 = \sqrt[3]{-2 + (-\frac{1}{2} \sqrt{3} i)} + \sqrt[3]{-2 - (-\frac{1}{2} \sqrt{3} i)}\]
\[x_3 = \sqrt[3]{-2 - (-\frac{1}{2} \sqrt{3} i)} + \sqrt[3]{-2 + (-\frac{1}{2} \sqrt{3} i)}\]

Таким образом, когда коэффициент при \(x^3\) равен 2, многочлен с корнями, противоположными корням \(2x^3 - 8x^2 + 3x - 4\), имеет следующий вид:

\[x_1 = \sqrt[3]{-2 + \sqrt{1}} + \sqrt[3]{-2 - \sqrt{1}}\]
\[x_2 = \sqrt[3]{-2 + (-\frac{1}{2} \sqrt{3} i)} + \sqrt[3]{-2 - (-\frac{1}{2} \sqrt{3} i)}\]
\[x_3 = \sqrt[3]{-2 - (-\frac{1}{2} \sqrt{3} i)} + \sqrt[3]{-2 + (-\frac{1}{2} \sqrt{3} i)}\]