Какой многочлен получится при сложении многочлена x^4-x^2+1 и умножении многочленов 1-x^2 и x^2+1?

Чудесная_Звезда

54

Для решения этой задачи нам понадобится выполнить два действия: сложение и умножение многочленов. Давайте начнем с сложения многочленов:

\[ (x^4 - x^2 + 1) + (1 - x^2) \]

Чтобы выполнить сложение, мы просто складываем коэффициенты одночленов с одинаковыми степенями:

\[ x^4 - x^2 + 1 + 1 - x^2 \]

Теперь объединяем одночлены с одинаковыми степенями:

\[ x^4 + (-x^2 - x^2) + (1 + 1) \]

Упрощаем каждую группу одночленов:

\[ x^4 - 2x^2 + 2 \]

Теперь перейдем к умножению многочленов:

\[ (1 - x^2)(x^2 + 1) \]

Для умножения многочленов мы будем использовать метод FOIL (F - первый, O - внешний, I - внутренний, L - последний). Проиллюстрируем каждый шаг:

F: \(1 \cdot x^2 = x^2\)

O: \(1 \cdot 1 = 1\)

I: \((-x^2) \cdot x^2 = -x^4\)

L: \((-x^2) \cdot 1 = -x^2\)

Теперь сложим все полученные одночлены:

\[ x^2 + 1 - x^4 - x^2 \]

Объединяем одночлены:

\[ -x^4 + (x^2 - x^2) + 1 \]

Упрощаем:

\[ -x^4 + 1 \]

Таким образом, результатом сложения многочленов и умножения многочленов будет:

\[ x^4 - 2x^2 + 2 -x^4 + 1 \]

При объединении одночленов получим итоговый многочлен:

\[ -x^4 + x^4 - 2x^2 + 1 + 2 \]

Упрощаем:

\[ -2x^2 + 3 \]

Поэтому, итоговый многочлен получится равным \(-2x^2 + 3\).