Какое наибольшее значение принимает функция y=12x^{2} -x^{3}+3 на интервале [-5;6]?

Единорог

20

Для решения этой задачи нам необходимо найти максимальное значение функции \(y=12x^{2} -x^{3}+3\) на интервале \([-5;6]\). Давайте пошагово решим эту задачу:

1. Сначала нам нужно найти критические точки нашей функции. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не определена. Для этого возьмем первую производную функции \(y\) и приравняем ее к нулю:
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 24x - 3x^{2} = 0\)

2. Решим уравнение: \(24x - 3x^{2} = 0\). Факторизуя его получаем: \(3x(8 - x) = 0\). Решениями уравнения являются \(x = 0\) и \(x = 8\).

3. Теперь нам нужно найти значения функции \(y\) в критических точках и на концах интервала \([-5;6]\). Подставим значения \(x\) в функцию \(y = 12x^{2} - x^{3} + 3\) и найдем соответствующие значения \(y\):
При \(x = -5\), \(y = 12(-5)^{2} - (-5)^{3} + 3 = 285\).
При \(x = 0\), \(y = 12(0)^{2} - (0)^{3} + 3 = 3\).
При \(x = 6\), \(y = 12(6)^{2} - (6)^{3} + 3 = 183\).
При \(x = 8\), \(y = 12(8)^{2} - (8)^{3} + 3 = -493\).

4. Из полученных значений видно, что наибольшее значение функции на интервале \([-5;6]\) равно 285. Оно достигается при \(x = -5\).

Таким образом, максимальное значение функции \(y=12x^{2} -x^{3}+3\) на интервале \([-5;6]\) равно 285.