Какой модуль силы действует на материальную точку массой 5 г в момент времени t=1/60с, если она колеблется по закону

Радуга_На_Небе

41

Для решения этой задачи нам понадобится формула для модуля силы \(F\), действующей на колеблющуюся материальную точку:

\[ F = m \cdot a \]

где \(m\) - масса точки, а \(a\) - ускорение точки.

Для получения ускорения точки нам нужно найти вторую производную закона колебаний по времени. Зная закон колебаний точки \(x\) и его первую производную \(v\), найдем вторую производную:

\[ a = \frac{{d^2x}}{{dt^2}} \]

Зная, что \(x = 4 \sin(10\pi t)\), найдем первую производную:

\[ v = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (4 \sin(10\pi t)) \]

Продифференцируем функцию \(4 \sin(10\pi t)\) по времени:

\[ v = 4 \cdot \frac{{d}}{{dt}} \sin(10\pi t) \]

Используем формулу производной для функции синуса:

\[ v = 4 \cdot 10\pi \cos(10\pi t) \]

Теперь продифференцируем функцию \(v\) по времени, чтобы получить вторую производную:

\[ a = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(4 \cdot 10\pi \cos(10\pi t)) \]

\[ a = 4 \cdot 10\pi \cdot \frac{{d}}{{dt}}(\cos(10\pi t)) \]

\[ a = -4 \cdot 10\pi^2 \cdot \sin(10\pi t) \]

Теперь, зная \(m = 5 \, \text{г} = 0.005 \, \text{кг}\) и подставив \(t = \frac{1}{60} \, \text{с}\) в выражение для \(a\), мы можем найти модуль силы:

\[ F = m \cdot a = 0.005 \, \text{кг} \cdot (-4 \cdot 10\pi^2 \cdot \sin(10\pi \cdot \frac{1}{60})) \]

\[ F \approx -0.845 \, \text{Н} \]

Таким образом, модуль силы, действующей на материальную точку в момент времени \(t = \frac{1}{60}\) секунды, примерно равен \(0.845\) Ньютонов (с учетом знака).