Найти момент инерции диска относительно оси, которая проходит через центр диска перпендикулярно к его плоскости

Zimniy_Vecher

70

Чтобы найти момент инерции диска, нам понадобится использовать формулу момента инерции для твердого цилиндра. Момент инерции (I) зависит от массы тела (m) и его распределения относительно оси вращения.

Формула для момента инерции полого цилиндра выглядит следующим образом:

\[I = \frac{1}{2}m(R_2^2 + R_1^2)\]

где m - масса диска, \(R_2\) - внешний радиус диска и \(R_1\) - внутренний радиус диска.

Для нашего случая, чтобы найти момент инерции диска, мы сначала должны найти массу диска, а затем подставить значения в формулу. Давайте начнем с нахождения массы диска.

Массу диска (m) можно найти, зная объем диска и его плотность. Объем диска (V) вычисляется как разность объемов внешнего и внутреннего цилиндров:

\[V = \pi(R_2^2h - R_1^2h)\]

где h - толщина диска.

Плотность меди известна и составляет примерно \(8,96 г/см^3\). Теперь мы можем вычислить массу диска:

\[m = V \cdot \text{плотность}\]

Давайте подставим значения для нашего случая:

\[R_2 = r = 12 \, см = 0,12 \, м\]
\[R_1 = R_2 - r_о = 0,12 \, м - 0,03 \, м = 0,09 \, м\]
\[h = ь = 0,1 \, см = 0,001 \, м\]
\[\text{плотность меди} = 8,96 г/см^3 = 8960 кг/м^3\]

Теперь мы можем найти объем диска:

\[V = \pi((0,12 \, м)^2 \cdot 0,001 \, м - (0,09 \, м)^2 \cdot 0,001 \, м) = 0,008381 \, м^3\]

И, наконец, найдем массу диска:

\[m = 0,008381 \, м^3 \cdot 8960 \, кг/м^3 = 74,90976 \, кг\]

Итак, масса диска составляет примерно 74,91 кг.

Теперь, когда у нас есть масса диска, мы можем подставить значения в формулу момента инерции:

\[I = \frac{1}{2} \cdot 74,90976 \, кг \cdot ((0,12 \, м)^2 + (0,09 \, м)^2)\]

Давайте вычислим значение момента инерции:

\[I = \frac{1}{2} \cdot 74,90976 \, кг \cdot (0,0144 \, м^2 + 0,0081 \, м^2) = 0,009060912 \, кг \cdot м^2\]

Таким образом, момент инерции диска относительно указанной оси составляет примерно 0,0091 кг·м^2.