Какой путь l пройдет точка, движущаяся по окружности радиуса R=2, согласно закону φ=2+2t-t^2, до момента остановки?

Cvetok

4

Для решения этой задачи, нам необходимо найти значение угла φ, соответствующее моменту остановки точки.

Для начала, давайте рассмотрим, как изменяется значение угла φ во времени. У нас есть уравнение φ = 2 + 2t - t^2, где t - время. Подставим данное уравнение в выражение для угла дуги окружности:

l = R * φ,

где l - длина дуги, R - радиус окружности.

Теперь, заменим φ в данном выражении и получим:

l = R * (2 + 2t - t^2).

Для определения момента остановки, нам нужно найти значение времени t, при котором l достигает максимального значения. Для этого, возьмите производную dl/dt относительно времени t и приравняйте ее к нулю:

dl/dt = R * (2 - 2t) = 0.

Решим это уравнение:

2 - 2t = 0,
-2t = -2,
t = 1.

Таким образом, время остановки точки равно t = 1.

Теперь, чтобы найти путь l до момента остановки, подставим найденное значение времени в исходное уравнение для l:

l = R * (2 + 2*1 - 1^2) = R * (2 + 2 - 1) = R * 3 = 2 * 3 = 6.

Итак, путь, пройденный точкой до момента остановки, равен 6.