Какой радиус имеет окружность, которая вписана в квадрат со стороной

Chernaya_Roza

2

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства окружностей и квадратов.

1. Вписанная окружность: это окружность, которая касается всех сторон квадрата внутренним образом.

2. Касательная: это прямая, которая касается окружности в единственной точке.

Итак, у нас есть квадрат со стороной \(a\). Давайте представим себе этот квадрат и впишем окружность внутри него.

Поскольку окружность касается всех сторон квадрата внутренним образом, она будет касаться сторон квадрата в точках соприкосновения. Допустим, эти точки соприкосновения равноудалены от центра окружности. Обозначим расстояние от центра окружности до любой из этих точек как \(r\). Таким образом, радиус окружности равен \(r\).

Теперь мы должны показать, что радиус окружности имеет определенное значение, связанное со стороной квадрата. Для этого давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом окружности, стороной квадрата \(a\) и касательной к ним обоим.

По теореме Пифагора для этого треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = r^2\]

\[\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = r^2\]

\[\frac{2a^2}{4} = r^2\]

\[\frac{a^2}{2} = r^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей равенства:

\[\sqrt{\frac{a^2}{2}} = \sqrt{r^2}\]

\[\frac{a}{\sqrt{2}} = r\]

Таким образом, мы получили выражение для радиуса окружности, вписанной в квадрат:

\[r = \frac{a}{\sqrt{2}}\]

Теперь, зная сторону квадрата, мы можем легко вычислить радиус окружности, вписанной в него. Если в задаче дано значение стороны квадрата, подставьте его в формулу для \(a\) и посчитайте результат.