Какой радиус описанной окружности у правильного треугольника, если его площадь составляет 50√3?

Игнат

51

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о правильных треугольниках и описанных окружностях.

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы равны 60 градусам.

Описанная окружность - это окружность, которая полностью охватывает треугольник и проходит через все его вершины.

Для начала, нам понадобится формула для вычисления площади правильного треугольника. Формула такова:

\[Площадь = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\],

где \(a\) - длина стороны треугольника.

В задаче нам дано, что площадь треугольника равна \(50\sqrt{3}\). Подставим это значение в формулу площади и решим уравнение относительно \(a\):

\[50\sqrt{3} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\].

Для удобства, упростим уравнение, деля обе части на \(\sqrt{3}\):

\[50 = \frac{{a^2}}{4}\].

Теперь, умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[200 = a^2\].

Далее, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[\sqrt{200} = a\].

Упростим этот корень:

\[\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}\].

Итак, длина стороны \(a\) равна \(10\sqrt{2}\).

Теперь, для нахождения радиуса описанной окружности, мы знаем, что радиус это половина длины стороны треугольника. Поэтому, радиус окружности будет:

\[Радиус = \frac{{10\sqrt{2}}}{2} = 5\sqrt{2}\].

Таким образом, радиус описанной окружности для данного правильного треугольника равен \(5\sqrt{2}\).