Какой радиус у окружности, описанной около треугольника ABC, если угол C равен 150 градусов и длина отрезка AB равна

Kosmicheskaya_Sledopytka

29

Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, мы можем воспользоваться формулой, которая связывает радиус окружности и стороны треугольника.

Мы знаем, что треугольник ABC описывается окружностью, и у него есть центр O (см. чертеж). Обозначим радиус этой окружности как R.

Также нам дано, что угол C равен 150 градусам. Зная свойства треугольника, мы можем сказать, что угол вокруг центра окружности (угол COB на чертеже) составляет в два раза больше угла внутри треугольника (угол CAB). То есть, угол COB равен 300 градусам.

Поскольку треугольник ABC описывается окружностью, угол CAB можно найти как половину угла вокруг центра окружности. Значит, угол CAB равен 150 градусам.

Теперь, имея угол CAB, мы можем воспользоваться теоремой синусов для нахождения стороны AC (одной из сторон треугольника).

Теорема синусов гласит:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},\]
где a, b и c - стороны треугольника, A, B и C - противолежащие углы.

В данном случае у нас есть сторона AB, равная 26. Также известны углы CAB (150 градусов) и CBA (угол COB, равный 300 градусам).

Применяя теорему синусов к треугольнику ABC, мы получаем:
\[\frac{AC}{\sin 150^\circ} = \frac{26}{\sin 300^\circ}.\]

Поскольку \(\sin 300^\circ\) равен \(\sin(-60^\circ)\), а синус является нечетной функцией, то \(\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ)\) и \(\sin 300^\circ = -\sin 60^\circ\).

Также, синус 150 градусов равен синусу 30 градусов (так как они имеют одинаковые значения в первом квадранте).

Следовательно, мы можем переписать уравнение:
\[\frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{26}{-\sin 60^\circ}.\]

Для дальнейшего решения упростим это уравнение:
\[\frac{AC}{\frac{1}{2}} = \frac{26}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}.\]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[AC = 26 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right).\]

Окончательно, мы можем записать:
\[AC = -\frac{52}{\sqrt{3}}.\]

Теперь, чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, мы можем использовать формулу радиуса, связанную с стороной треугольника:
\[R = \frac{AC}{2}.\]

Подставляя значение AC, получаем:
\[R = \frac{-\frac{52}{\sqrt{3}}}{2} = -\frac{26}{\sqrt{3}}.\]

Поскольку радиус не может быть отрицательным, мы берем абсолютное значение:
\[R = \frac{26}{\sqrt{3}}.\]

Таким образом, радиус окружности, описывающей треугольник ABC, равен \(\frac{26}{\sqrt{3}}\).