Какой угловой коэффициент имеет касательная к кривой уравнения х²-у²+ху-11=0 в заданной точке?

Тимур

1

Чтобы найти угловой коэффициент касательной к заданной кривой в заданной точке, нам нужно найти производную от уравнения кривой и подставить координаты заданной точки в найденную производную. Для этого воспользуемся формулой для нахождения углового коэффициента касательной.

Начнем с уравнения кривой: \(x^2 - y^2 + xy - 11 = 0\).

Прежде чем продолжить, выполним действие по группировке переменных и упрощаем уравнение:

\((x^2 + xy) - (y^2 + 11) = 0\).

Теперь возьмем производную от обеих частей по переменной x, используя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения:

\(\frac{{d}}{{dx}}(x^2 + xy) - \frac{{d}}{{dx}}(y^2 + 11) = 0\).

Продифференцируем каждое слагаемое:

\(2x + \frac{{d}}{{dx}}(xy) - 0 = 0\).

Заметим, что дифференцирование переменной y по x даст нам угловой коэффициент касательной, поэтому продифференцируем слагаемое \(xy\) по x:

\(2x + y + x \frac{{d}}{{dx}}(y) = 0\).

Теперь выразим \(\frac{{d}}{{dx}}(y)\):

\(\frac{{d}}{{dx}}(y) = -\frac{{2x + y}}{{x}}\).

Теперь для нахождения углового коэффициента в заданной точке, подставим координаты этой точки в найденное выражение. Пусть точка задана координатами (a, b), тогда:

\(\frac{{d}}{{dx}}(y) = -\frac{{2a + b}}{{a}}\).

Это и есть угловой коэффициент касательной к кривой уравнения \(x^2 - y^2 + xy - 11 = 0\) в заданной точке (a, b).

Обратите внимание, что в конечном ответе угловой коэффициент будет выражен через переменные a и b, поскольку мы не специфицировали значения этих переменных. Если у вас есть конкретные значения для a и b, вы можете заменить эти переменные на числа в вашем ответе.