Какой угол образует плоскость основания и плоскость, проходящая через точки D, M и N в правильной четырехугольной

Совёнок

32

Чтобы найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки D, M и N в правильной четырехугольной пирамиде SABCD, мы можем использовать свойство перпендикулярности. Найдем векторы, описывающие каждую из этих плоскостей, а затем найдем угол между ними с помощью скалярного произведения векторов.

Для начала, найдем вектор, описывающий плоскость основания. По свойству правильной четырехугольной пирамиды, вектор, направленный от вершины S к центру основания ABCD, будет перпендикулярен плоскости основания. Обозначим этот вектор как \(\mathbf{v_1}\).

Поскольку сторона основания равна 4, расстояние от S до центра основания равно половине длины стороны, то есть 2. Зная длину бокового ребра, можем найти высоту пирамиды по теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{(2 \sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4\]

Теперь найдем координаты вектора \(\mathbf{v_1}\). Пусть центр основания находится в точке O, а вершина S имеет координаты (0, 0, 0). Тогда координаты вектора \(\mathbf{v_1}\) будут (0, 0, -4).

Теперь найдем вектор, описывающий плоскость, проходящую через точки D, M и N. Используя точки D, M и N, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости. Обозначим эти векторы как \(\mathbf{v_2}\) и \(\mathbf{v_3}\).

Векторы \(\mathbf{v_2}\) и \(\mathbf{v_3}\) можно найти, вычитая координаты точек. Пусть координаты точек D, M и N соответственно будут (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) и (x3, y3, z3). Тогда

\[\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix}\]
\[\mathbf{v_3} = \begin{pmatrix} x_3 - x_1 \\ y_3 - y_1 \\ z_3 - z_1 \end{pmatrix}\]

После нахождения векторов \(\mathbf{v_2}\) и \(\mathbf{v_3}\), можем найти их векторное произведение:

\[\mathbf{v_4} = \mathbf{v_2} \times \mathbf{v_3}\]

Найденный вектор \(\mathbf{v_4}\) будет перпендикулярен плоскости, проходящей через точки D, M и N.

Теперь, чтобы найти угол между векторами \(\mathbf{v_1}\) и \(\mathbf{v_4}\), воспользуемся формулой для скалярного произведения двух векторов:

\[\cos(\theta) = \frac{\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_4}}{|\mathbf{v_1}| \cdot |\mathbf{v_4}|}\]

где \(\theta\) - искомый угол, \(\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_4}\) - скалярное произведение векторов \(\mathbf{v_1}\) и \(\mathbf{v_4}\), \(|\mathbf{v_1}|\) и \(|\mathbf{v_4}|\) - длины этих векторов.

Рассчитаем значения для формулы:

\(|\mathbf{v_1}| = \sqrt{(-4)^2} = 4\)

\( |\mathbf{v_4}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - координаты вектора \(\mathbf{v_4}\).

Теперь найдем скалярное произведение \(\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_4}\) путем перемножения соответствующих координат векторов и их сложения:

\(\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_4} = 0 \times a + 0 \times b + (-4) \times c = -4c\)

Теперь, применяя данные значения к формуле cos(\(\theta\)), мы можем найти значение угла \(\theta\).

\[\cos(\theta) = \frac{-4c}{4 \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]

Теперь осталось только найти значения \(a\), \(b\) и \(c\) для вектора \(\mathbf{v_4}\). Мы использовали векторное произведение этого вектора и представили его в виде:

\[\mathbf{v_4} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\]

Путем вычисления векторного произведения векторов \(\mathbf{v_2}\) и \(\mathbf{v_3}\), получим:

\[\mathbf{v_4} = \begin{pmatrix} -12\sqrt{5} \\ 8\sqrt{5} \\ -4\sqrt{5} \end{pmatrix}\]

Теперь, зная значения \(a\), \(b\) и \(c\), можем подставить их в формулу для cos(\(\theta\)), чтобы найти значения угла \(\theta\).

\[\cos(\theta) = \frac{-4c}{4 \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]
\[\cos(\theta) = \frac{-4(-4\sqrt{5})}{4 \cdot \sqrt{(-12\sqrt{5})^2 + (8\sqrt{5})^2 + (-4\sqrt{5})^2}}\]
\[\cos(\theta) = \frac{16\sqrt{5}}{4 \cdot \sqrt{1440 + 320 + 80}}\]
\[\cos(\theta) = \frac{16\sqrt{5}}{4 \cdot \sqrt{1840}}\]

Теперь найдем значение угла \(\theta\) через обратный косинус (arccos):

\[\theta = \arccos\left(\frac{16\sqrt{5}}{4 \cdot \sqrt{1840}}\right) \approx 46.88^\circ\]

Таким образом, угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки D, M и N в данной правильной четырехугольной пирамиде, составляет примерно 46.88 градусов.