Какой угол образуют векторы a→(8;10) и b→(−18;−2) ? 45° 90° 135°

Чернышка

57

Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем использовать формулу скалярного произведения. Векторы \( \textbf{a} \) и \( \textbf{b} \) заданы следующим образом: \( \textbf{a} = (8, 10) \) и \( \textbf{b} = (-18, -2) \).

Сначала мы найдем длины этих векторов. Длина вектора \( \textbf{a} \) равна:

\[ |\textbf{a}| = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} \approx 12.81 \]

Аналогично, длина вектора \( \textbf{b} \) равна:

\[ |\textbf{b}| = \sqrt{(-18)^2 + (-2)^2} = \sqrt{324 + 4} = \sqrt{328} \approx 18.14 \]

Затем мы вычисляем скалярное произведение двух векторов \( \textbf{a} \) и \( \textbf{b} \) по следующей формуле:

\[ \textbf{a} \cdot \textbf{b} = |\textbf{a}| \cdot |\textbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]

где \( \theta \) - угол между векторами \( \textbf{a} \) и \( \textbf{b} \). Мы можем решить данное уравнение относительно \( \cos(\theta) \) и затем найти сам угол \( \theta \).

Раскрывая уравнение, получим:

\[ \textbf{a} \cdot \textbf{b} = 12.81 \cdot 18.14 \cdot \cos(\theta) \]

Теперь мы можем выразить \( \cos(\theta) \):

\[ \cos(\theta) = \frac{\textbf{a} \cdot \textbf{b}}{12.81 \cdot 18.14} \]

Подставляя значения векторов \( \textbf{a} \) и \( \textbf{b} \), получаем:

\[ \cos(\theta) = \frac{(8 \cdot -18) + (10 \cdot -2)}{12.81 \cdot 18.14} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{-144 - 20}{232.2734} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{-164}{232.2734} \]

\[ \cos(\theta) \approx -0.7065 \]

Теперь найдем значение угла \( \theta \) с помощью обратной функции косинуса (арккосинус):

\[ \theta = \arccos(-0.7065) \]

\[ \theta \approx 135^\circ \]

Чтобы проверить наше решение, можно построить векторы \( \textbf{a} \) и \( \textbf{b} \) на координатной плоскости и заметить, что они образуют угол примерно в \( 135^\circ \).

Итак, угол между векторами \( \textbf{a} \) и \( \textbf{b} \) составляет примерно \( 135^\circ \). Ответ: 135°.