Какой угол противолежит средней стороне треугольника, если длины его сторон составляют 9 см, 14 см и корень из 151?

Pushistik

60

Для решения этой задачи воспользуемся законами косинусов.

Закон косинусов формулируется следующим образом: в треугольнике сторона, противолежащая углу, равна квадратному корню из суммы квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Обозначим стороны треугольника как a = 9 см, b = 14 см и c = √151 см. Пусть угол между сторонами a и b равен α.

Мы хотим узнать, какой угол противолежит средней стороне треугольника, то есть угол между сторонами a и c. Обозначим его как β.

Применяя закон косинусов, получаем следующее уравнение:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha) \]

Подставляя известные значения сторон:

\[ 151 = 9^2 + 14^2 - 2 \cdot 9 \cdot 14 \cdot \cos(\alpha) \]

Выразим косинус угла α:

\[ \cos(\alpha) = \frac{9^2 + 14^2 - 151}{2 \cdot 9 \cdot 14} \]

Рассчитаем это значение:

\[ \cos(\alpha) = \frac{81 + 196 - 151}{252} = 0.3254 \]

Теперь мы можем найти угол α, взяв обратный косинус этого значения:

\[ \alpha = \cos^{-1}(0.3254) \]

Подставим этот результат обратно в уравнение закона косинусов, чтобы найти угол β:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha) \]

\[ β = \cos^{-1}\left(\frac{9^2 + (\sqrt{151})^2 - 14^2}{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{151}}\right) \]

Вычислим это значение:

\[ β = \cos^{-1}\left(\frac{81 + 151 - 196}{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{151}}\right) \]

\[ β = \cos^{-1}\left(\frac{36}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{151}}\right) \]

\[ β = \cos^{-1}\left(\frac{6}{\sqrt{151}}\right) \]

Осталось только рассчитать значение этого угла:

\[ β \approx 0.9444 \]

Таким образом, угол β противолежит средней стороне треугольника и его значение составляет приблизительно 0.9444 радиан или около 54 градусов.