Какой является коэффициент перед a^3 в разложении выражения (a+1/a)^9 с использованием формулы бинома Ньютона?

Zolotoy_Robin Gud

31

Разложение выражения \((a+\frac{1}{a})^9\) с использованием формулы бинома Ньютона выглядит следующим образом:

\[(a+\frac{1}{a})^9 = C_0 a^9 (\frac{1}{a})^0 + C_1 a^8 (\frac{1}{a})^1 + C_2 a^7 (\frac{1}{a})^2 + C_3 a^6 (\frac{1}{a})^3 + C_4 a^5 (\frac{1}{a})^4 + C_5 a^4 (\frac{1}{a})^5 + C_6 a^3 (\frac{1}{a})^6 + C_7 a^2 (\frac{1}{a})^7 + C_8 a^1 (\frac{1}{a})^8 + C_9 a^0 (\frac{1}{a})^9,\]

где \(C_k\) обозначает биномиальные коэффициенты.

Мы хотим узнать коэффициент перед \(a^3\), поэтому обратим внимание только на одно слагаемое:

\[C_3 a^6 (\frac{1}{a})^3.\]

Мы знаем, что биномиальные коэффициенты \(C_k\) определяются следующей формулой:

\[C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!},\]

где \(n\) - степень в скобке, а \(k\) - степень перед \(a\).

Подставим значения в данную формулу:

\[C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!}.\]

Теперь рассмотрим слагаемое \(a^6 (\frac{1}{a})^3\). Здесь нам необходимо учесть, что \(\frac{1}{a} = a^{-1}\). Таким образом, мы получаем:

\[a^6 (\frac{1}{a})^3 = a^6 a^{-1 \cdot 3} = a^6 a^{-3} = a^{6-3} = a^3.\]

Итак, чтобы найти коэффициент перед \(a^3\), мы перемножаем \(C_3\) и \(a^3\):

\[C_3 a^3 = \frac{9!}{3!6!} a^3.\]

Таким образом, коэффициент перед \(a^3\) в разложении выражения \((a+\frac{1}{a})^9\) с использованием формулы бинома Ньютона равен \(\frac{9!}{3!6!}\).