Какой является точкой минимума функции y =1/3x√x-3x+59?

Roza

53

Для нахождения точки минимума функции \(y = \frac{1}{3}x\sqrt{x} - 3x + 59\) нам понадобится использовать метод дифференцирования.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по \(x\).

Используя правила дифференцирования, возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности:

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x\sqrt{x}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{x}\right)
\]

Теперь применим правило производной произведения (правило Лейбница) для \(x\) и \(\sqrt{x}\):

\[
\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{x}\right) = \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

Упростим это выражение:

\[
\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{x}\right) = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}
\]

Теперь найдем производную от второго слагаемого \(-3x\):

\[
\frac{d}{dx}(-3x) = -3
\]

Из-за того, что константы дифференцируются до нуля.

Шаг 2: После нахождения производной, приравняем ее к нулю и решим уравнение:

\[
\frac{1}{3} \cdot \left(\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}\right) - 3 = 0
\]

Для более удобного решения, умножим уравнение на 3:

\[
\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} = 9
\]

Шаг 3: Избавимся от знаменателя, умножив уравнение на \(\sqrt{x}\):

\[
\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x} = 9 \cdot \sqrt{x}
\]

Упростим выражение:

\[
x + \frac{x}{2} = 9 \cdot \sqrt{x}
\]

\[
\frac{3}{2}x = 9 \cdot \sqrt{x}
\]

Шаг 4: Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[
\left(\frac{3}{2}x\right)^2 = (9 \cdot \sqrt{x})^2
\]

\[
\frac{9}{4}x^2 = 81x
\]

Шаг 5: Перенесем все слагаемые в одну сторону и получим квадратное уравнение:

\[
\frac{9}{4}x^2 - 81x = 0
\]

\[
x^2 - \frac{4}{9} \cdot 81x = 0
\]

\[
x(x - 36) = 0
\]

Теперь мы имеем два возможных значения для \(x\): \(x = 0\) или \(x = 36\).

Шаг 6: Для определения точки минимума, подставим каждое значение \(x\) в исходную функцию:

Для \(x = 0\):

\[
y = \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} - 3 \cdot 0 + 59 = 59
\]

Для \(x = 36\):

\[
y = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{36} - 3 \cdot 36 + 59
\]

Вычислим данный результат символьно:

\[
y = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 - 3 \cdot 36 + 59 = 72 - 108 + 59 = 23
\]

Таким образом, точка минимума функции \(y\) равна (36, 23).

Окончательный ответ: Точка минимума функции \(y = \frac{1}{3}x\sqrt{x} - 3x + 59\) равна (36, 23).